设α=(α1，α2，…，αn)T是Rn中的非零向量，方阵A=ααT． (1)证明：对正整数m，存在常数t，使Am=tm一1A，并求出t； (2)求一个可逆矩阵P，使P一1AP=Λ为对角矩阵．

admin2017-04-23 81

问题设α=(α₁，α₂，…，α_n)T是Rⁿ中的非零向量，方阵A=αα^T．
(1)证明：对正整数m，存在常数t，使A^m=t^m一1A，并求出t；
(2)求一个可逆矩阵P，使P^一1AP=Λ为对角矩阵．

选项

答案(1)A^m=(αα^T)(αα^T)…(αα^T)=α(α^Tα)^m一1一α^T=一(α^Tα)^m一1(αα^T)=[*]=t^m一1A，其中t=[*] 秩(A)=1，因实对称矩阵A的非零特征值的个数等于它的秩，故A只有一个非零特征值，而有n一1重特征值λ₁=λ₂=…=λ_n一1=0．设α₁≠0，由0E [*] 得属于特征值0的特征值可取为：ξ₁=[*] 由特征值之和等于A的主对角线元素之和，即0+0+…+0+λ_n=[*] =α^Tα，由Aα=(αα^T)α=α(α^Tα)=αλ_n=λ_nα及α≠0，得与λ_n对应特征向量为α，令P=[ξ₁ ξ₂ … ξ_n一1 α]，则有P^一1AP=diag(0，0，…，0，[*]a_i²)为对角阵．

解析

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考研数学二

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设α=(α1，α2，…，αn)T是Rn中的非零向量，方阵A=ααT． (1)证明：对正整数m，存在常数t，使Am=tm一1A，并求出t； (2)求一个可逆矩阵P，使P一1AP=Λ为对角矩阵．

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