2. 考研
  3. 设α=(α1，α2，…，αn)T是Rn中的非零向量，方阵A=ααT． (1)证明：对正整数m，存在常数t，使Am=tm一1A，并求出t； (2)求一个可逆矩阵P，使P一1AP=Λ为对角矩阵．

设α=(α1，α2，…，αn)T是Rn中的非零向量，方阵A=ααT． (1)证明：对正整数m，存在常数t，使Am=tm一1A，并求出t； (2)求一个可逆矩阵P，使P一1AP=Λ为对角矩阵．

admin2017-04-23  71
问题 设α=(α1，α2，…，αn)T是Rn中的非零向量，方阵A=ααT．
(1)证明：对正整数m，存在常数t，使Am=tm一1A，并求出t；
(2)求一个可逆矩阵P，使P一1AP=Λ为对角矩阵．
选项
答案(1)Am=(ααT)(ααT)…(ααT)=α(αTα)m一1一αT=一(αTα)m一1(ααT)=[*]=tm一1A，其中t=[*] 秩(A)=1，因实对称矩阵A的非零特征值的个数等于它的秩，故A只有一个非零特征值，而有n一1重特征值λ1=λ2=…=λn一1=0．设α1≠0，由0E [*] 得属于特征值0的特征值可取为：ξ1=[*] 由特征值之和等于A的主对角线元素之和，即0+0+…+0+λn=[*] =αTα，由Aα=(ααT)α=α(αTα)=αλn=λnα及α≠0，得与λn对应特征向量为α，令P=[ξ1 ξ2 … ξn一1 α]，则有P一1AP=diag(0，0，…，0，[*]ai2)为对角阵．
解析
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考研数学二

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