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  3. 设f(x)在U0(x0)内有定义．试证：若对任何满足下述条件的数列{xn},xn∈U0(x0)，xn→x0，0＜｜xn+1-x0｜＜｜xn-x0｜，都有

设f(x)在U0(x0)内有定义．试证：若对任何满足下述条件的数列{xn},xn∈U0(x0)，xn→x0，0＜｜xn+1-x0｜＜｜xn-x0｜，都有

admin2022-10-31  13
问题 设f(x)在U0(x0)内有定义．试证：若对任何满足下述条件的数列{xn},xn∈U0(x0)，xn→x0，0＜｜xn+1-x0｜＜｜xn-x0｜，都有
选项
答案用反证法．若[*]x’∈U0 (x0；δ)，使得｜f(x’)-A｜≥ε0． 取δ1=1，[*]x1∈U0(x0；δ1)，使得｜f(x1)-A｜≥ε0； 取δ2=min{1／2，｜x1-x0｜}．[*]x2∈U0(x0；δ2)，使得｜f(x2)-A｜≥ε0；…… 取δn=min{1／n，｜xn-1-x0｜}．[*]xn∈U0(x0；δn)，使得｜f(xn)-A｜≥ε0；…… 从而得到一数列{xn}满足： 0＜｜xn+1-x0｜＜｜xn-x0｜，且[*]xn=x0，但｜f(xn-A｜≥ε0． 此与[*]f(xn)=A相矛盾．所以[*]f(x)=A成立．
解析
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考研数学一

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