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设f(x),g(3x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,f’+(n)f’-(b)>0,且g(x)≠0(x∈[a,b]),g"(x)≠0(a<x<b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)/g(ξ)=f"(ξ)/g"(ξ)
设f(x),g(3x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,f’+(n)f’-(b)>0,且g(x)≠0(x∈[a,b]),g"(x)≠0(a<x<b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)/g(ξ)=f"(ξ)/g"(ξ)
admin
2020-03-05
29
问题
设f(x),g(3x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,f’
+
(n)f’
-
(b)>0,且g(x)≠0(x∈[a,b]),g"(x)≠0(a<x<b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)/g(ξ)=f"(ξ)/g"(ξ).
选项
答案
设f’
+
(a)>0,f’
-
(b)>0, 由f’
+
(a)>0,存在x
1
∈(a,b),使得f(x
1
)>f(a)=0; 由f’
-
(b)>0,存在x
2
∈(a,b),使得f(x
2
)<f(b)=0, 因为f(x
1
)f(x
2
)<0,所以由零点定理,存在c∈(a,b),使得f(c)=0. 令h(x)=f(x)/g(x),显然h(x)在[a,b]上连续,由h(a)=h(c)=h(b)=0, 存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),使得h’(ξ
1
)=h’(ξ
2
)=0, [*] 令φ(x)=f’(x)g(x)-f(x)g’(x),φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使得φ’(ξ)=0, 而φ’(x)=f"(x)g(x)-f(x)g"(x)所以f(ξ)/g(ξ)=f"(ξ)/g"(ξ).
解析
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考研数学一
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