2. 考研
  3. 设f(x)，g(3x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f’+(n)f’－(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g"(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)／g(ξ)=f"(ξ)／g"(ξ)

设f(x)，g(3x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f’+(n)f’－(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g"(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)／g(ξ)=f"(ξ)／g"(ξ)

admin2020-03-05  16
问题 设f(x)，g(3x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f’+(n)f’－(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g"(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)／g(ξ)=f"(ξ)／g"(ξ)．
选项
答案设f’+(a)＞0，f’－(b)＞0， 由f’+(a)＞0，存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)=0； 由f’－(b)＞0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＜f(b)=0， 因为f(x1)f(x2)＜0，所以由零点定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)=0． 令h(x)=f(x)／g(x)，显然h(x)在[a，b]上连续，由h(a)=h(c)=h(b)=0， 存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0， [*] 令φ(x)=f’(x)g(x)－f(x)g’(x)，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得φ’(ξ)=0， 而φ’(x)=f"(x)g(x)－f(x)g"(x)所以f(ξ)／g(ξ)=f"(ξ)／g"(ξ)．
解析
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考研数学一

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