[2018年] 已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数．若f(x)为周期函数，试证微分方程有解与其对应，且该解也为周期函数．

admin2019-04-08 71

问题 [2018年] 已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数．
若f(x)为周期函数，试证微分方程有解与其对应，且该解也为周期函数．

选项

答案由条件可得通解为 y(x)=e^-∫1dx[∫f(x)e^∫1dx+C]=e^-x∫f(x)e^xdx+C)(C为任意常数)． y(x+T)=e^-(x+T)∫(x+T)e^x+Tdx+Ce^-(x+T) =e^T·e^-x(∫f(x)e^x·e^Tdx+C) =e^-T·e^-x·e^T(∫f(x)e^xdx+C₁) =e^-x(∫f(x)e^xdx+C₁)，欲使y(x)为周期函数，即y(x)=y(x+T)，只需C₁=C·e^-T，再由e^-T＞0，得C=0．所以，y(x)=e^-x∫f(x)edx为方程对应的解，且为周期函数．

解析

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