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[2018年] 已知微分方程y’+y=f(x),其中f(x)是R上的连续函数. 若f(x)为周期函数,试证微分方程有解与其对应,且该解也为周期函数.
[2018年] 已知微分方程y’+y=f(x),其中f(x)是R上的连续函数. 若f(x)为周期函数,试证微分方程有解与其对应,且该解也为周期函数.
admin
2019-04-08
47
问题
[2018年] 已知微分方程y’+y=f(x),其中f(x)是R上的连续函数.
若f(x)为周期函数,试证微分方程有解与其对应,且该解也为周期函数.
选项
答案
由条件可得通解为 y(x)=e
-∫1dx
[∫f(x)e
∫1dx
+C]=e
-x
∫f(x)e
x
dx+C)(C为任意常数). y(x+T)=e
-(x+T)
∫(x+T)e
x+T
dx+Ce
-(x+T)
=e
T
·e
-x
(∫f(x)e
x
·e
T
dx+C) =e
-T
·e
-x
·e
T
(∫f(x)e
x
dx+C
1
) =e
-x
(∫f(x)e
x
dx+C
1
), 欲使y(x)为周期函数,即y(x)=y(x+T),只需C
1
=C·e
-T
,再由e
-T
>0,得C=0. 所以,y(x)=e
-x
∫f(x)edx为方程对应的解,且为周期函数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1D04777K
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考研数学一
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