[2018年] 已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数．若f(x)为周期函数，试证微分方程有解与其对应，且该解也为周期函数．

admin2019-04-08 49

问题 [2018年] 已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数．
若f(x)为周期函数，试证微分方程有解与其对应，且该解也为周期函数．

选项

答案由条件可得通解为 y(x)=e^-∫1dx[∫f(x)e^∫1dx+C]=e^-x∫f(x)e^xdx+C)(C为任意常数)． y(x+T)=e^-(x+T)∫(x+T)e^x+Tdx+Ce^-(x+T) =e^T·e^-x(∫f(x)e^x·e^Tdx+C) =e^-T·e^-x·e^T(∫f(x)e^xdx+C₁) =e^-x(∫f(x)e^xdx+C₁)，欲使y(x)为周期函数，即y(x)=y(x+T)，只需C₁=C·e^-T，再由e^-T＞0，得C=0．所以，y(x)=e^-x∫f(x)edx为方程对应的解，且为周期函数．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1D04777K

考研数学一

相关试题推荐

求不定积分
设矩阵当a为何值时，方程AX=B无解、有唯一解、有无穷多解?在有解时，求解此方程。
设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2。(Ⅰ)证明：r(A)=2；(Ⅱ)设β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解。
设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X=E(X2)}=________。
设函数f(x)以2π为周期，且其在[一π，π)上的表达式为f(x)=|x|，求f(x)的傅里叶级数，并求的和．
设f(x)具有连续的二阶导数，且
设f(x)在x=0的邻域内二阶连续可导，=2，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的曲率．
设f(x)是连续函数．若|f(x)|≤k，证明：当x≥0时，有|y(x)|≤k／a(eax－1)．
求微分方程x3y’’’+2x2y’’一xy’+y=0的通解．
(2002年)考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏

随机试题

A．肾上腺素B．去甲肾上腺素C．乙酰胆碱D．5-羟色胺E．组胺
利用拦河坝使河道水位壅高，以集中水头的水电站称为()水电站。
新的会计年度开始，肩用新账时，可继续使用不必更换的账簿是()。
导游人员在介绍景物时借题发挥，利用所见的景物制造意境的导游方法称为()。
游客对乘机位有特殊要求时，导游人员应在哪个环节时，向机场工作人员详细说明()
阐述早期的四种迁移理论的基本观点。
最新的一项研究得出两个结论：工作复杂性越高，尤其对女性而言，认知表现会随着年龄的增长而越来越好；在脏乱的工作环境中，无论男女，均显示出认知能力的下降。根据上述论述，对提高员工认知能力帮助不大的是：
我国第一部文学理论评论专著是()。
Theartofpleasingisaverynecessaryonetopossess,butaverydifficultonetoacquire,foritcanhardlybe______torules.
调查了n=200个不同年龄组的被试对手表显示偏好程度如下表：该题自变量与因变量的数据类型分别是：()

最新回复(0)

[2018年] 已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数． 若f(x)为周期函数，试证微分方程有解与其对应，且该解也为周期函数．

考研数学一

求不定积分

设矩阵当a为何值时，方程AX=B无解、有唯一解、有无穷多解?在有解时，求解此方程。

设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2。(Ⅰ)证明：r(A)=2；(Ⅱ)设β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解。

设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X=E(X2)}=________。

设函数f(x)以2π为周期，且其在[一π，π)上的表达式为f(x)=|x|，求f(x)的傅里叶级数，并求的和．

设f(x)具有连续的二阶导数，且

设f(x)在x=0的邻域内二阶连续可导，=2，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的曲率．

设f(x)是连续函数．若|f(x)|≤k，证明：当x≥0时，有|y(x)|≤k／a(eax－1)．

求微分方程x3y’’’+2x2y’’一xy’+y=0的通解．

(2002年)考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏

A．肾上腺素B．去甲肾上腺素C．乙酰胆碱D．5-羟色胺E．组胺

利用拦河坝使河道水位壅高，以集中水头的水电站称为()水电站。

新的会计年度开始，肩用新账时，可继续使用不必更换的账簿是()。

导游人员在介绍景物时借题发挥，利用所见的景物制造意境的导游方法称为()。

游客对乘机位有特殊要求时，导游人员应在哪个环节时，向机场工作人员详细说明()

阐述早期的四种迁移理论的基本观点。

最新的一项研究得出两个结论：工作复杂性越高，尤其对女性而言，认知表现会随着年龄的增长而越来越好；在脏乱的工作环境中，无论男女，均显示出认知能力的下降。根据上述论述，对提高员工认知能力帮助不大的是：

我国第一部文学理论评论专著是()。

Theartofpleasingisaverynecessaryonetopossess,butaverydifficultonetoacquire,foritcanhardlybe______torules.

调查了n=200个不同年龄组的被试对手表显示偏好程度如下表：该题自变量与因变量的数据类型分别是：()

[2018年] 已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数．若f(x)为周期函数，试证微分方程有解与其对应，且该解也为周期函数．