设f(x)为连续函数，则下列结论正确的是( )．

admin2022-12-09 39

问题设f(x)为连续函数，则下列结论正确的是( )．

选项 A、1/x∫₀^x[f(-t)+f(t)]dt为奇函数
B、f(x)为奇函数，则∫₀^xf(t)dt为偶函数
C、若f(x)是以T＞0为周期的函数，则∫₀^xf(t)dt也是周期函数
D、若f(x)为偶函数，则∫_a^xf(t)dt为奇函数

答案B

解析因为f(t)+f(-t)为偶函数，所以∫₀^x[f(t)+f(-t)]dt为奇函数，
从而1/x∫₀^x[f(-t)+f(t)]出为偶函数，(A)不对；
设f(-t)-f(t)，F(x)=∫_a^xf(t)dt，则
F(-x)=∫_a^-xf(t)dt

∫_-a^xf(-u)(-du)=∫_-a^xf(u)du
=∫_-a^af(u)du+∫_a^xf(u)du=∫_a^xf(u)du，
即F(x)为偶函数，(B)正确；
取f(x)=1-cosx，显然f(x)为周期函数且周期T＞0，但∫₀^xf(t)dt=x-sinx+C不是周期函数，(C)不对；
令f(x)=x²，则f(x)为偶函数，但∫₁^xf(t)dt=(1/3)x²-1/3不是奇函数，(D)不对．

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考研数学三

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