设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且 f’(x)=ef(x)， f(2)=1，计算f(n)(2)．

admin2017-04-11 39

问题设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且
f’(x)=e^f(x)， f(2)=1，
计算f⁽ⁿ⁾(2)．

选项

答案由f’(x)=e^f(x)两边求导数得 f"(x)=e^f(x)．f’(x)=e^2f(x)，两边再求导数得 f"’(x)=e^2f(x)2f’(x)=2e^3f(x)，两边再求导数得 f⁽⁴⁾(x)=2e^3f(x)3f’(x)=3!e^4f(x)，由以上规律可得n阶导数 f⁽ⁿ⁾(x)=(n一1)!e^nf(x)，所以f⁽ⁿ⁾(2)=(n—1)!eⁿ．

解析

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