设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，f(1／2)＝1，试证： (1)存在η∈(1／2，1)，使f(η)＝η； (II)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得fˊ(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1．

admin2012-05-31 103

问题设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，f(1／2)＝1，试证：
(1)存在η∈(1／2，1)，使f(η)＝η；
(II)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得fˊ(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1．

选项

答案(I)由题设，引入辅助函数φ(x)＝x－f(x)，则φ(x)在[0，1]上连续，[*]由已知条件及(I)中结论，知g(x)也是连续函数，且g(0)＝[f(0)－0]e^o＝0，g(η)＝－φ(η)e^－λη＝0．由罗尔定理知存在一点ξ∈(0，η)，使得gˊ(ξ)＝0，又gˊ(x)＝－λe^－λx[f(x)－x]＋e^－λx[fˊ(x)－1]，所以－λ[f(ξ)－ξ]＋fˊ(ξ)－1＝0 此即fˊ(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1．证毕．

解析

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考研数学二

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设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，f(1／2)＝1，试证： (1)存在η∈(1／2，1)，使f(η)＝η； (II)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得fˊ(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1．

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