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设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证: (1)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η; (II)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得fˊ(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证: (1)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η; (II)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得fˊ(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.
admin
2012-05-31
48
问题
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证:
(1)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η;
(II)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得fˊ(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.
选项
答案
(I)由题设,引入辅助函数φ(x)=x-f(x),则φ(x)在[0,1]上连续,[*]由已知条件及(I)中结论,知g(x)也是连续函数,且g(0)=[f(0)-0]e
o
=0,g(η)=-φ(η)e
-λη
=0. 由罗尔定理知存在一点ξ∈(0,η),使得gˊ(ξ)=0, 又gˊ(x)=-λe
-λx
[f(x)-x]+e
-λx
[fˊ(x)-1], 所以-λ[f(ξ)-ξ]+fˊ(ξ)-1=0 此即fˊ(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.证毕.
解析
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考研数学二
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