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设函数f(x)=+c(e=2.71828…是自然对数的底数,c∈R). 讨论关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数.
设函数f(x)=+c(e=2.71828…是自然对数的底数,c∈R). 讨论关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数.
admin
2019-06-01
72
问题
设函数f(x)=
+c(e=2.71828…是自然对数的底数,c∈R).
讨论关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数.
选项
答案
令g(x)=f(x)-|lnx|=[*]+c—|lnx|.(1)当x≥1时,g(x)=[*]+x—lnx,g'(x)=[*],所以g(x)为单调减函数.当g(1)=[*]+x≥0时,即c≥-[*]时,方程|lnx|=f(x)在[1,+∞)上有-个根;当g(1)=[*]+c<0时,即c<-[*]时,方程|lnx|=f(x)在[1,+∞)上没有根;(ii)当0<x<1时,g(x)=[*]>0,所以g(x)为单调增函数.因为x→0
+
时,g(x)=[*]+c+lnx→-∞,所以当g(1)=[*]+c>0时,即c>-[*]时,方程|lnx|=f(x)在(0,1)上有-个根;所以当g(1)=[*]+c≤0时,即c≤-[*]时,方程|lnx|=f(x)在(0,1)上没有根.综上所述,当c>-[*]时,方程|lnx|=f(x)有两个不相等的实数根;当c=-[*]时,方程|lnx|=f(x)有-个实数根;当c<-[*]时,方程|lnx|=f(x)没有实数根.
解析
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