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设函数f(x)在所讨论的区间上可导.下述命题正确的是 ( )
设函数f(x)在所讨论的区间上可导.下述命题正确的是 ( )
admin
2019-01-24
53
问题
设函数f(x)在所讨论的区间上可导.下述命题正确的是 ( )
选项
A、若f(x)在(a,b)内有界,则f'(x)在(a,b)内亦有界.
B、若f'(x)在(a,b)内有界,则f(x)在(a,b)内亦有界.
C、若f(x)在(a,+∞)内有界,则f'(x)在(a,+∞)内亦有界.
D、若f'(x)在(a,+∞)内有界,则f(x)在(a,+∞)内亦有界.
答案
B
解析
设f'(x)在(a,b)内的界为M,即|f'(x)|≤M,x∈(a,b).在(a,b)内任取一个闭区间[α,β],
.因为f'(x)在(a,b)内存在,所以f(x)在(a,b)内连续,从而在[α,β]上连续,因此存在M
1
,当x∈[α,β]时|f(x)|≤M
1
.在[α,β]内取定x
0
,在(a,b)内任取x.在区间[x
0
,x]或[x,x
0
]上用拉格朗日中值公式,得
f(x)=f(x
0
)+f'(ξ)(x-x
0
),
|f(x)|≤|f(x
0
)|+|f'(ξ)||x-x
0
|
≤M
1
+M(b-a),
所以f(x)在(a,b)内有界.
以下分别举例说明(A),(C),(D)不正确.
(A)的反例.设
.f(x)在(0,1)内有界:|f(x)f<1,但
,x∈(0,1).取
却是无界的.
(C)的反例.设
,f(x)在区间(0,+∞)内有界
,而
取
.当n→∞时
(无界).
(D)的反例.设f(x)=x,f'(x)=1在(a,+∞)内有界,但f(x)=x在区间(a,+∞)内无界.
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考研数学一
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