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  3. 设函数f(x)在所讨论的区间上可导．下述命题正确的是 ( )

设函数f(x)在所讨论的区间上可导．下述命题正确的是 ( )

admin2019-01-24  37
问题 设函数f(x)在所讨论的区间上可导．下述命题正确的是    (    )
选项 A、若f(x)在(a，b)内有界，则f＇(x)在(a，b)内亦有界．
B、若f＇(x)在(a，b)内有界，则f(x)在(a，b)内亦有界．
C、若f(x)在(a，＋∞)内有界，则f＇(x)在(a，＋∞)内亦有界．
D、若f＇(x)在(a，＋∞)内有界，则f(x)在(a，＋∞)内亦有界．
答案B
解析 设f＇(x)在(a，b)内的界为M，即｜f＇(x)｜≤M，x∈(a，b)．在(a，b)内任取一个闭区间[α，β]，．因为f＇(x)在(a，b)内存在，所以f(x)在(a，b)内连续，从而在[α，β]上连续，因此存在M1，当x∈[α，β]时｜f(x)｜≤M1．在[α，β]内取定x0，在(a，b)内任取x．在区间[x0，x]或[x，x0]上用拉格朗日中值公式，得
f(x)＝f(x0)＋f＇(ξ)(x－x0)，
｜f(x)｜≤｜f(x0)｜＋｜f＇(ξ)｜｜x－x0｜
≤M1＋M(b－a)，
所以f(x)在(a，b)内有界．
以下分别举例说明(A)，(C)，(D)不正确．
(A)的反例．设．f(x)在(0，1)内有界：｜f(x)f＜1，但，x∈(0，1)．取却是无界的．
(C)的反例．设，f(x)在区间(0，＋∞)内有界，而

取．当n→∞时(无界)．
(D)的反例．设f(x)＝x，f＇(x)＝1在(a，＋∞)内有界，但f(x)＝x在区间(a，＋∞)内无界．
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