已知y1=e3x－xe2x，y2=ex－xe2x，y3=－xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y|x=0=0，y’|x=0=1的解为y=_______。

admin2021-01-19 67

问题已知y₁=e^3x－xe^2x，y₂=e^x－xe^2x，y₃=－xe^2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y|_x=0=0，y’|_x=0=1的解为y=_______。

选项

答案e^3x－e^x－xe^2x

解析显然y₁－y₃=e^3x和y₂－y₃=e^x是对应的二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解。且y^*=－xe^2x是非齐次微分方程的一个特解，由解的结构定理，该方程的通解为
y=C₁e^3x+C₂e^x－xe^2x，其中C₁，C₂为任意常数。
把初始条件代入可得C₁=1，C₂=－1，所以答案为y=e^3x－e^x－xe^2x。

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