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(16)已知矩阵A= (Ⅰ)求A99; (Ⅱ)设3阶矩阵B=(a1,a2,a3)满足B2=BA,记B100=(β1,β2,β3),将β1,β2,β3分别表示为α1,α2,α3的线性组合.
(16)已知矩阵A= (Ⅰ)求A99; (Ⅱ)设3阶矩阵B=(a1,a2,a3)满足B2=BA,记B100=(β1,β2,β3),将β1,β2,β3分别表示为α1,α2,α3的线性组合.
admin
2018-08-01
88
问题
(16)已知矩阵A=
(Ⅰ)求A
99
;
(Ⅱ)设3阶矩阵B=(a
1
,a
2
,a
3
)满足B
2
=BA,记B
100
=(β
1
,β
2
,β
3
),将β
1
,β
2
,β
3
分别表示为α
1
,α
2
,α
3
的线性组合.
选项
答案
(Ⅰ)利用方阵A的相似对角化来求方阵A的幂,为此先来求A的特征值与特征向量,由 |λE-A|=[*]=λ(λ+1)(λ+2)=0, 得A的全部特征值为λ
1
=0,λ
2
=-1,λ
3
=-2, 对于特征值λ
1
=0,解方程组Ax=0,得对应的特征向量ξ
1
=(3,2,2)
T
, 对于特征值λ
2
=-1,解方程组(-E-A)x=0,得对应的特征向量ξ
2
=(1,1,0)
T
, 对于特征值λ
3
=-2,解方程组(-2E-A)x=0,得对应的特征向量ξ
3
=(1,2,0)
T
, 令矩阵P=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=[*],则P
-1
AP=[*]=D. 于是得 A
99
=(PDP
-1
)
99
=PD
99
P
-1
[*] (Ⅱ)因为B
2
=BA,所以 B
100
=B
98
B
2
=B
99
A=B
97
B
2
A=B
98
A
2
=…=BA
99
, 即 (β
1
,β
2
,β
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)[*] 所以 [*]
解析
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考研数学二
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