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(16)已知矩阵A= (Ⅰ)求A99； (Ⅱ)设3阶矩阵B=(a1，a2，a3)满足B2=BA，记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．
(16)已知矩阵A= (Ⅰ)求A99； (Ⅱ)设3阶矩阵B=(a1，a2，a3)满足B2=BA，记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．
admin
2018-08-01
67
问题
(16)已知矩阵A=
(Ⅰ)求A
99
；
(Ⅱ)设3阶矩阵B=(a
1
，a
2
，a
3
)满足B
2
=BA，记B
100
=(β
1
，β
2
，β
3
)，将β
1
，β
2
，β
3
分别表示为α
1
，α
2
，α
3
的线性组合．
选项
答案
(Ⅰ)利用方阵A的相似对角化来求方阵A的幂，为此先来求A的特征值与特征向量，由 ｜λE-A｜=[*]=λ(λ+1)(λ+2)=0， 得A的全部特征值为λ
1
=0，λ
2
=-1，λ
3
=-2， 对于特征值λ
1
=0，解方程组Ax=0，得对应的特征向量ξ
1
=(3，2，2)
T
， 对于特征值λ
2
=-1，解方程组(-E-A)x=0，得对应的特征向量ξ
2
=(1，1，0)
T
， 对于特征值λ
3
=-2，解方程组(-2E-A)x=0，得对应的特征向量ξ
3
=(1，2，0)
T
， 令矩阵P=(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)=[*]，则P
-1
AP=[*]=D． 于是得 A
99
=(PDP
-1
)
99
=PD
99
P
-1
[*] (Ⅱ)因为B
2
=BA，所以 B
100
=B
98
B
2
=B
99
A=B
97
B
2
A=B
98
A
2
=…=BA
99
， 即 (β
1
，β
2
，β
3
)=(α
1
，α
2
，α
3
)[*] 所以 [*]
解析
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考研数学二
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