2. 考研
  3. 设A为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵 又A的伴随矩阵A*有特征值λ0 ，λ0所对应的特征向量为α=[2，5，一1]T． (1)求λ0的值； (2)计算(A*)一1； (3)计算行列式|A*+E|．

设A为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵 又A的伴随矩阵A*有特征值λ0 ，λ0所对应的特征向量为α=[2，5，一1]T． (1)求λ0的值； (2)计算(A*)一1； (3)计算行列式|A*+E|．

admin2016-12-16  91
问题 设A为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵

又A的伴随矩阵A*有特征值λ0 ，λ0所对应的特征向量为α=[2，5，一1]T．
(1)求λ0的值；
(2)计算(A*)一1；
(3)计算行列式|A*+E|．
选项
答案(1)由题设，有[*]，令P=[α1 ，α2 ，α3]，其中 [*] 则 Aα1=1．α1 ，Aα2=2．α2 ，Aα3一1．α3 ，即α1 ，α2 ，α3是属于3个不同特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一1的特征向量．而A为三阶实对称矩阵，其不同特征值对应的特征向量必正交，则 [*] 解得 a=0，b=一2． 又A*α=λ0α，而a=一α3 ，于是有 A*(一α3)=λ0(一α3)，即A*α3=λ0α3 ，从而AA*tα3=λ0Aα3 ，|A|α3=λ0Aα3 ，可见 [*] 又Aα3=(一1)α3 ，因此有[*]=λ3=一1，故λ0=2． (2)由Aα1=1．α1 ，Aα2=2．α2 ，Aα3=一1．α3及 [*] 有A[α1 ，α2 ，α3]=[α1 ，2α2 ，一α3]．于是 A=[α1 ，α2 ，α3][α1 ，α2 ，α3] 一1 [*] (3)由Aαi=λifαi(1=1，2，3)，有A*αi=[*] 进而有 (A*+E)αi=[*] 可见A*+E的特征值为 [*] 即 μ1=一1，μ2=0，μ3=3． 故 |A*+E|=μ1μ2μ3=0．
解析 利用实对称矩阵的特征向量正交性可求出a，b，再由A的特征值1，2，一1，可求得A*的特征值，从而求得A*+E的特征值，于是其行列式易求得．可用公式(A*)一1=A/|A|简化求得(A*)一1．
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考研数学三

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