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设A为三阶实对称矩阵,且存在可逆矩阵 又A的伴随矩阵A*有特征值λ0 ,λ0所对应的特征向量为α=[2,5,一1]T. (1)求λ0的值; (2)计算(A*)一1; (3)计算行列式|A*+E|.
设A为三阶实对称矩阵,且存在可逆矩阵 又A的伴随矩阵A*有特征值λ0 ,λ0所对应的特征向量为α=[2,5,一1]T. (1)求λ0的值; (2)计算(A*)一1; (3)计算行列式|A*+E|.
admin
2016-12-16
76
问题
设A为三阶实对称矩阵,且存在可逆矩阵
又A的伴随矩阵A
*
有特征值λ
0
,λ
0
所对应的特征向量为α=[2,5,一1]
T
.
(1)求λ
0
的值;
(2)计算(A
*
)
一1
;
(3)计算行列式|A
*
+E|.
选项
答案
(1)由题设,有[*],令P=[α
1
,α
2
,α
3
],其中 [*] 则 Aα
1
=1.α
1
,Aα
2
=2.α
2
,Aα
3
一1.α
3
,即α
1
,α
2
,α
3
是属于3个不同特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=一1的特征向量.而A为三阶实对称矩阵,其不同特征值对应的特征向量必正交,则 [*] 解得 a=0,b=一2. 又A
*
α=λ
0
α,而a=一α
3
,于是有 A
*
(一α
3
)=λ
0
(一α
3
),即A
*
α
3
=λ
0
α
3
,从而AA
*
tα
3
=λ
0
Aα
3
,|A|α
3
=λ
0
Aα
3
,可见 [*] 又Aα
3
=(一1)α
3
,因此有[*]=λ
3
=一1,故λ
0
=2. (2)由Aα
1
=1.α
1
,Aα
2
=2.α
2
,Aα
3
=一1.α
3
及 [*] 有A[α
1
,α
2
,α
3
]=[α
1
,2α
2
,一α
3
].于是 A=[α
1
,α
2
,α
3
][α
1
,α
2
,α
3
]
一1
[*] (3)由Aα
i
=λ
i
fα
i
(1=1,2,3),有A
*
α
i
=[*] 进而有 (A
*
+E)α
i
=[*] 可见A
*
+E的特征值为 [*] 即 μ
1
=一1,μ
2
=0,μ
3
=3. 故 |A
*
+E|=μ
1
μ
2
μ
3
=0.
解析
利用实对称矩阵的特征向量正交性可求出a,b,再由A的特征值1,2,一1,可求得A
*
的特征值,从而求得A
*
+E的特征值,于是其行列式易求得.可用公式(A
*
)
一1
=A/|A|简化求得(A
*
)
一1
.
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0
考研数学三
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