设f(x)=试将f(x)展开成x的幂级数．

admin2017-10-23 53

问题设f(x)=

试将f(x)展开成x的幂级数．

选项

答案[*] 由于上式右端的级数在点x=±1处收敛，因此上面等式在｜x｜≤1上成立．于是当0＜｜x｜≤1时 [*] 由于f(x)在点x=0处连续，且根据幂级数的和函数在收敛区间内处处连续可得上式在点x=0处也成立，因此f(x)的幂级数展开式为 f(x)=1+[*]，x∈[—1，1]．

解析先由arctanx的麦克劳林展开式求出0＜｜x｜≤1时f(x)的幂级数展开式，再由幂级数的和函数在收敛区间内的连续性及f(x)在点x=0处的连续性求得f(x)在｜x｜≤1上的展开式．

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