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设函数f(x)在开区间(a,b)内可导,证明:当导函数f’(b)在(a,b)内有界时,函数f(x)在(a,b)内也有界。
设函数f(x)在开区间(a,b)内可导,证明:当导函数f’(b)在(a,b)内有界时,函数f(x)在(a,b)内也有界。
admin
2018-12-27
43
问题
设函数f(x)在开区间(a,b)内可导,证明:当导函数f’(b)在(a,b)内有界时,函数f(x)在(a,b)内也有界。
选项
答案
设x
0
,x∈(a,b),则f(x)在以x
0
,x为端点的区间上满足拉格朗日中值定理条件,因此 f(x)-f(x
0
)=f’(ξ)(x-x
0
),ξ∈(x
0
,x)。 因为f’(x)在(a,b)内有界,即存在N>0,使|f’(x)|
0)+f(x
0
)|≤|f(x)-f(x
0
)|+|f(x)|≤|f’(ξ)(b-a)|+|f(x
0
)|≤N(b-a)+|f(x
0
)|=M。 根据有界的定义f(x)在(a,b)内有界。
解析
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考研数学一
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