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设f(x)二阶可导,f(0)=0,且f’’(x)>0.证明:对任意的a>0,b>0,有f(a+b)>f(a)+f(b).
设f(x)二阶可导,f(0)=0,且f’’(x)>0.证明:对任意的a>0,b>0,有f(a+b)>f(a)+f(b).
admin
2017-08-31
40
问题
设f(x)二阶可导,f(0)=0,且f
’’
(x)>0.证明:对任意的a>0,b>0,有f(a+b)>f(a)+f(b).
选项
答案
不妨设a≤b,由微分中值定理,存在ξ
1
∈(0,a),ξ
2
∈(b,a+b),使得[*] 两式相减得f(a+b)一f(a)一f(b)=[f
’
(ξ
2
)一f
’
(ξ
1
)]a. 因为f
’’
(x)>0,所以f
’
(x)单调增加,而ξ
1
<ξ
2
,所以f
’
(ξ
1
)<f
’
(ξ
2
), 故f(a+b)-f(a)一f(b)=[f
’
(ξ
2
)一f
’
(ξ
1
)]a>0,即f(a+b)>f(a)+f(b).
解析
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考研数学一
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