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设,B=U-1A*U.求B+2E的特征值和特征向量.
设,B=U-1A*U.求B+2E的特征值和特征向量.
admin
2018-08-12
45
问题
设
,B=U
-1
A
*
U.求B+2E的特征值和特征向量.
选项
答案
①求特征值. A=C+E,其中C=[*] 则C的特征值为0,0,6,从而A的特征值为1,1,7.|A|=1×1×7=7. A
*
的特征值为7,7,1. B~A
*
,从而B和A
*
特征值完全一样,也是7,7,1. B+2E的特征值为9,9,3. ②求特征向量. A
*
与A的对应特征值(指1与7,7与1)的特征向量一样,B+2E与B对应特征值的特征向量也一样,A
*
η=λη,则BU
-1
η=λU
-1
η.于是可以由A的特征向量来得到B+2E的特征向量 A的属于1的特征向量就是A
*
的属于7的特征向量,用U
-1
乘后就是B的属于7的特征向量,也就是B+2E的属于9的特征向量. A的属于1的特征向量,即(A-E)X=0的非零解.求得(A-E)X=0的基础解系 η
1
=(1,-1,0)
T
,η
2
=(1,0,-1)
T
. 于是A的属于1的特征向量的为 c
2
η
1
+c
2
η
2
,c
2
,c
2
不全为0. 求出ξ
1
=U
-1
η
1
=(-1,1,0)
T
,ξ
2
=U
-1
η
2
=(1,1,-1)
T
,则B+2E的属于9的特征向量为 c
1
ξ
1
+c
2
ξ
2
,c
2
,c
2
不全为0. 同理,A的属于7的特征向量用U
-1
乘后就是B+2E的属于3的特征向量. 求出A的属于7的特征向量(即(A-7E)X=0的非零解)为 cη,c不为0,其中η=(1,1,1)
T
, 记ξ=U
-1
η=(0,1,1)
T
,则B+2E的属于9的特征向量为 cξ.c≠0.
解析
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考研数学二
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