2. 考研
  3. 设，B＝U-1A*U．求B＋2E的特征值和特征向量．

设，B＝U-1A*U．求B＋2E的特征值和特征向量．

admin2018-08-12  79
问题 设，B＝U-1A*U．求B＋2E的特征值和特征向量．
选项
答案①求特征值． A＝C＋E，其中C＝[*] 则C的特征值为0，0，6，从而A的特征值为1，1，7．｜A｜＝1×1×7＝7． A*的特征值为7，7，1． B～A*，从而B和A*特征值完全一样，也是7，7，1． B＋2E的特征值为9，9，3． ②求特征向量． A*与A的对应特征值(指1与7，7与1)的特征向量一样，B＋2E与B对应特征值的特征向量也一样，A*η＝λη，则BU-1η＝λU-1η．于是可以由A的特征向量来得到B＋2E的特征向量 A的属于1的特征向量就是A*的属于7的特征向量，用U-1乘后就是B的属于7的特征向量，也就是B＋2E的属于9的特征向量． A的属于1的特征向量，即(A－E)X＝0的非零解．求得(A－E)X＝0的基础解系 η1＝(1，－1，0)T，η2＝(1，0，－1)T． 于是A的属于1的特征向量的为 c2η1＋c2η2，c2，c2不全为0． 求出ξ1＝U-1η1＝(－1，1，0)T，ξ2＝U-1η2＝(1，1，－1)T，则B＋2E的属于9的特征向量为 c1ξ1＋c2ξ2，c2，c2不全为0． 同理，A的属于7的特征向量用U-1乘后就是B＋2E的属于3的特征向量． 求出A的属于7的特征向量(即(A－7E)X＝0的非零解)为 cη，c不为0，其中η＝(1，1，1)T， 记ξ＝U-1η＝(0，1，1)T，则B＋2E的属于9的特征向量为 cξ．c≠0．
解析
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考研数学二

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