设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x—t)dt=arctan x2．已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值·

admin2015-08-14 2.4K+

问题设函数f(x)连续，且∫₀^xtf(2x—t)dt=

arctan x²．已知f(1)=1，求∫₁²f(x)dx的值·

选项

答案令u=2x一t，则t=2x一u，dt=一du．当t=0时，u=2x；当t=x时，u=x．故 ∫₀^xtf(2x一t)dt=一∫_2x^x(2x-u)f(u)du=2x∫_x^2xf(u)du一∫_x^2xuf(u)du，由已知得2x∫_x^2xf(u)du—∫_x^2xuf(u)du=[*]arctan x²，两边对x求导，得 2∫_x^2xf(u)du+2x[2f(2x)一f(x)]一[2xf(2x).2一xf(x)]=[*]， [*]

解析

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