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设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b﹥0),其中二次型矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为﹣12.(1)求a,b的值;(2)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b﹥0),其中二次型矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为﹣12.(1)求a,b的值;(2)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
admin
2020-06-05
42
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax=ax
1
2
+2x
2
2
-2x
3
2
+2bx
1
x
3
(b﹥0),其中二次型矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为﹣12.(1)求a,b的值;(2)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
选项
答案
(1)二次型f的矩阵为 A=[*] 设矩阵A的特征值为λ
1
,λ
2
,λ
3
,依题意有 [*] 由于b﹥0,解得a=1,b=2. (2)矩阵A的特征多项式为 |A-λE|=[*] =﹣(λ-2)
2
(λ+3) 所以得A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=﹣3. 当λ
1
=λ
2
=2时,解方程组(A-2E)x=0.由 (A-2E)=[*] 得基础解系为p
1
=(0,1,0)
T
,p
2
=(2,0,1)
T
,p
1
,p
2
正交,将其单位化得 q
1
=(0,1,0)
T
,q
2
=[*] 当λ
3
=﹣3时,解方程组(A+3E)x=0.由 (A+3E)=[*] 得基础解系为p
3
=(1,0,﹣2)
T
,将其单位化得q
3
=[*].于是正交变换为 [*] 且把二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)化为2y
1
2
+2y
2
2
-3y
3
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/QNv4777K
0
考研数学一
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