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已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得Ak=0,试证明矩阵E-A可逆,并求出逆矩阵的表达式(E为n阶单位矩阵).
已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得Ak=0,试证明矩阵E-A可逆,并求出逆矩阵的表达式(E为n阶单位矩阵).
admin
2013-10-11
54
问题
已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得A
k
=0,试证明矩阵E-A可逆,并求出逆矩阵的表达式(E为n阶单位矩阵).
选项
答案
由代数公式1-a
k
=(1-a)(1+a+…+a
k-1
=)以及A与E可交换, 有E-A
k
=(E-A)(E+A+…+A
k-1
),而A
k
=0,故有(E-A)(E+A+…+A
k-1
)=E, 可知E-A可逆,且有(E-A)
-1
=E+A+…+A
k-1
.
解析
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考研数学三
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