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[2016年] 已知函数f(x)=则f(x)的一个原函数是( ).
[2016年] 已知函数f(x)=则f(x)的一个原函数是( ).
admin
2019-04-05
70
问题
[2016年] 已知函数f(x)=
则f(x)的一个原函数是( ).
选项
A、
B、
C、
D、
答案
D
解析
所给函数f(x)为分段函数,其原函数必用分段积分求之.再适当选取积分常数的一个值便可确定一个原函数,
因f(x)为分段函数,其原函数f(x)也必分段求之.
当x<1时,F(x)=∫f(x)dx=∫2(x一1)dx=(x一1)
2
+C
1
,
当x≥1时,F(z)=∫f(x)dx=∫lnx dx=x lnx一∫x dlnx
=xlnx一∫dx=xlnx=x+C=x(1nx一1)+C
2
.
因原函数F(x)可导,故F(x)连续.因而当x=l时,有F(1+0)=F(1一0),其中
F(1—0)=
(x一1)
2
+C
1
=C
1
,
F(1+0)=
(lnx-1)+C
2
=C
2
-l,
故C
1
=C
2
一1.于是
F(x)=
其中C
1
为任意实数.
可令C
1
取一个实数,例如令C
1
=0,可得到f(x)的一个原函数
F(x)=
仅(D)入选.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/QPV4777K
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考研数学二
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