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  3. [2016年] 已知函数f(x)=则f(x)的一个原函数是( )．

[2016年] 已知函数f(x)=则f(x)的一个原函数是( )．

admin2019-04-05  50
问题 [2016年]  已知函数f(x)=则f(x)的一个原函数是(  )．
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案D
解析 所给函数f(x)为分段函数，其原函数必用分段积分求之．再适当选取积分常数的一个值便可确定一个原函数，
    因f(x)为分段函数，其原函数f(x)也必分段求之．
当x＜1时，F(x)=∫f(x)dx=∫2(x一1)dx=(x一1)2+C1，
当x≥1时，F(z)=∫f(x)dx=∫lnx dx=x lnx一∫x dlnx
             =xlnx一∫dx=xlnx=x+C=x(1nx一1)+C2．
因原函数F(x)可导，故F(x)连续．因而当x=l时，有F(1+0)=F(1一0)，其中
F(1—0)=(x一1)2+C1=C1，
F(1+0)=(lnx－1)+C2=C2－l，
故C1=C2一1．于是
F(x)=其中C1为任意实数．
可令C1取一个实数，例如令C1=0，可得到f(x)的一个原函数
F(x)=
仅(D)入选．
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考研数学二

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