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函数 (Ⅰ)将f(x)展开成(x-1)的幂级数,并求此幂级数的收敛域; (Ⅱ)在此收敛域上,该幂级数是否都收敛于f(x)?如果在某处收敛而不收敛于f(x)在该处的值,那么收敛于什么?均要求说明理由.
函数 (Ⅰ)将f(x)展开成(x-1)的幂级数,并求此幂级数的收敛域; (Ⅱ)在此收敛域上,该幂级数是否都收敛于f(x)?如果在某处收敛而不收敛于f(x)在该处的值,那么收敛于什么?均要求说明理由.
admin
2019-01-24
15
问题
函数
(Ⅰ)将f(x)展开成(x-1)的幂级数,并求此幂级数的收敛域;
(Ⅱ)在此收敛域上,该幂级数是否都收敛于f(x)?如果在某处收敛而不收敛于f(x)在该处的值,那么收敛于什么?均要求说明理由.
选项
答案
(Ⅰ)将函数[*]展开成(x-1)的幂级数,为使式子简单起见,令u=x-1,即x=u+1.则 [*] 展开成u的幂级数.[*], [*] 显然,在u一±1处上式右边的幂级数收敛,所以该幂级数的收敛域为-1≤u≤1,即(x-1)的幂级数[*]的收敛域为0≤x≤2. (Ⅱ)在x=0处[*]无定义,所以谈不上它与该幂级数相等,那么该幂级数在x=0处收敛于什么呢?由于该幂级数在x=0处是收敛的,由同济大学《高等数学(下册)》(第七版)P279性质1,和函数[*]在x=0处是连续的,所以, [*] 即[*]在x=0处收敛于[*]. 至于该幂级数的和函数在x=2处,由于f(x)在x=2处连续,所以 [*] 即[*],在x=2处收敛于f(x)在x=2处的值,所以 [*]
解析
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考研数学一
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