设f(x)二阶连续可导，且曲线积分∫[3f’(x)一2f(x)+xe2x]ydx+f’(x)dy与路径无关，求f(x)．

admin2017-08-31 57

问题设f(x)二阶连续可导，且曲线积分∫[3f^’(x)一2f(x)+xe^2x]ydx+f^’(x)dy与路径无关，求f(x)．

选项

答案因为曲线积分与路径无关，所以有f^’’(x)=3f^’(x)一2f(x)＋xe^2x，即f^’’(x)一3f^’(x)+2f(x)=xe^2x，由特征方程λ²一3λ+2=0得λ₁=1，λ₂=2，则方程f^’’(x)一3f^’(x)+2f(x)=0的通解为f(x)=C₁e^x+C₂e^2x，令特解f₀(x)=x(ax+b)e^2x，代入原微分方程得a=[*]，b=一1，故所求f(x)=C₁e^x+C₂e^2x+([*]一x)e^2x．

解析

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(Ⅰ)设α1，α2，…，αn为n个n维线性无关的向量，且β与α1，α2，…，αn正交．证明：β=0；(Ⅱ)设α1，α2，…，αn-1为n一1个n维线性无关的向量，α1，α2，…，αn-1与非零向量β1，β2正交，证明：β1，β2线性相关．
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