2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2-4E的特征值为0,5，32.求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化。

设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2-4E的特征值为0,5，32.求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化。

admin2019-09-29  80
问题 设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2-4E的特征值为0,5，32.求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化。
选项
答案设A的三个特征值为λ1,λ2,λ3,因为B=(A*)2-4E的三个特征值为0,5,32，所以(A*)2的三个特征值为4,9,36，于是A*的三个特征值为2,3,6. 又因为∣A*∣=36=∣A∣3-1,所以∣A∣=6. 由[*],得λ1=3，λ2=2,λ3=1. 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以A-1的特征值为[*] 因为A-1的特征值都是单值，所以A-1可以相似对角化。
解析
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考研数学二

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