设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2-4E的特征值为0,5，32.求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化。

admin2019-09-29 57

问题设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A^*)²-4E的特征值为0,5，32.求A^-1的特征值并判断A^-1是否可对角化。

选项

答案设A的三个特征值为λ₁,λ₂,λ₃,因为B=(A^*)²-4E的三个特征值为0,5,32，所以(A^*)²的三个特征值为4,9,36，于是A^*的三个特征值为2,3,6. 又因为∣A^*∣=36=∣A∣^3-1,所以∣A∣=6. 由[*],得λ₁=3，λ₂=2,λ₃=1. 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以A^-1的特征值为[*] 因为A^-1的特征值都是单值，所以A^-1可以相似对角化。

解析

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