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设函数f(x)在(0,+∞)上二阶可导,且f"(x)>0,记un=f(n),n=1,2,…,又u1<u2,证明un=+∞.
设函数f(x)在(0,+∞)上二阶可导,且f"(x)>0,记un=f(n),n=1,2,…,又u1<u2,证明un=+∞.
admin
2016-01-15
52
问题
设函数f(x)在(0,+∞)上二阶可导,且f"(x)>0,记u
n
=f(n),n=1,2,…,又u
1
<u
2
,证明
u
n
=+∞.
选项
答案
对函数f(x)分别在区间[k,k+1](k=1,2,…,n,…),上使用拉格朗日中值定理 u
1
一u
2
=f(2)一f(1)=f’(ξ)>0,1<ξ
1
<2, … u
n—1
一u
n—2
=f(n一1)一f(n一2)=f’(ξ
n—2
),n一2<ξ
n—2
<n一1, u
n
一u
n—1
=f(n)—f(n一1)=f’(ξ
n—1
),n一1<ξ
n—1
<n. 因f"(x)>0,故f’(x)严格单调增加,即有 f’(ξ
n—1
)>f’(ξ
n—2
)>…>f’(ξ
2
)>f’(ξ
1
)=u
3
一u
1
, 则 u
n
=(u
n
一u
n—1
)+(u
n—1
—u
n—2
)+…+(u
2
一u
1
)+u
1
=f’(ξ
n—1
)+f’(ξ
n—2
)+…+f’(ξ
1
)+u
1
>f’(ξ
1
)+f’(ξ
1
)+…+f’(ξ
1
)+u
1
=(n一1)(u
2
一u
1
)+u
1
, 于是有[*]=+∞.
解析
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考研数学一
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