2. 考研
  3. 设函数f(x)在(0，+∞)上二阶可导，且f"(x)＞0，记un=f(n)，n=1，2，…，又u1＜u2，证明un=+∞．

设函数f(x)在(0，+∞)上二阶可导，且f"(x)＞0，记un=f(n)，n=1，2，…，又u1＜u2，证明un=+∞．

admin2016-01-15  48
问题 设函数f(x)在(0，+∞)上二阶可导，且f"(x)＞0，记un=f(n)，n=1，2，…，又u1＜u2，证明un=+∞．
选项
答案对函数f(x)分别在区间[k，k+1](k=1，2，…，n，…)，上使用拉格朗日中值定理 u1一u2=f(2)一f(1)=f’(ξ)＞0，1＜ξ1＜2， … un—1一un—2=f(n一1)一f(n一2)=f’(ξn—2)，n一2＜ξn—2＜n一1， un一un—1=f(n)—f(n一1)=f’(ξn—1)，n一1＜ξn—1＜n． 因f"(x)＞0，故f’(x)严格单调增加，即有 f’(ξn—1)＞f’(ξn—2)＞…＞f’(ξ2)＞f’(ξ1)=u3一u1， 则 un=(un一un—1)+(un—1—un—2)+…+(u2一u1)+u1 =f’(ξn—1)+f’(ξn—2)+…+f’(ξ1)+u1 ＞f’(ξ1)+f’(ξ1)+…+f’(ξ1)+u1 =(n一1)(u2一u1)+u1， 于是有[*]=+∞．
解析
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考研数学一

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