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设A为n阶正定矩阵,α1,α2,…,αn为n维非零列向量,且满足αiTA-1αj=0(i≠j;i,j=1,2,…,n).试证:向量组α1,α2,…,αn线性无关.
设A为n阶正定矩阵,α1,α2,…,αn为n维非零列向量,且满足αiTA-1αj=0(i≠j;i,j=1,2,…,n).试证:向量组α1,α2,…,αn线性无关.
admin
2021-11-09
70
问题
设A为n阶正定矩阵,α
1
,α
2
,…,α
n
为n维非零列向量,且满足α
i
T
A
-1
α
j
=0(i≠j;i,j=1,2,…,n).试证:向量组α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关.
选项
答案
设存在数k
1
,k
2
,…,k
n
,使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n
α
n
=0. 上式两端左边乘α
i
T
A
-1
,由α
i
T
A
-1
α
j
=0(i≠j;i,j=1,2,…,n),可得 k
i
α
i
T
A
-1
α
i
=0(i=1,2,…,n). 因A为正定矩阵,则A
-1
也为正定矩阵,且α
i
≠0,故α
i
T
A
-1
α
i
>0.于是,k
i
=0(i=1,2,…,n).所以向量组α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/cqy4777K
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考研数学二
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