设A为n阶正定矩阵，α1，α2，…，αn为n维非零列向量，且满足αiTA-1αj=0(i≠j；i，j=1，2，…，n)．试证：向量组α1，α2，…，αn线性无关．

admin2021-11-09 80

问题设A为n阶正定矩阵，α₁，α₂，…，α_n为n维非零列向量，且满足α_i^TA^-1α_j=0(i≠j；i，j=1，2，…，n)．试证：向量组α₁，α₂，…，α_n线性无关．

选项

答案设存在数k₁，k₂，…，k_n，使得 k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n=0．上式两端左边乘α_i^TA^-1，由α_i^TA^-1α_j=0(i≠j；i，j=1，2，…，n)，可得 k_iα_i^TA^-1α_i=0(i=1，2，…，n)．因A为正定矩阵，则A^-1也为正定矩阵，且α_i≠0，故α_i^TA^-1α_i>0．于是，k_i=0(i=1，2，…，n)．所以向量组α₁，α₂，…，α_n线性无关．

解析

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