2. 自考
  3. 设α1，α2是齐次线性方程组Ax＝0的一个基础解系，证明β1＝α1＋2α2，β2＝α1＋α2也是方程组Ax＝0的一个基础解系．

设α1，α2是齐次线性方程组Ax＝0的一个基础解系，证明β1＝α1＋2α2，β2＝α1＋α2也是方程组Ax＝0的一个基础解系．

admin2018-08-22  31
问题 设α1，α2是齐次线性方程组Ax＝0的一个基础解系，证明β1＝α1＋2α2，β2＝α1＋α2也是方程组Ax＝0的一个基础解系．
选项
答案由Aα1＝0，Aα2＝0，得 Aβ1＝A(α1＋2α2)＝0，Aβ2＝A(2α1＋α2)＝0， 可知β1，β2也是方程组Ax＝0的解． 设有常数k1，k2使得k1β1＋k2β2＝0，即 k1(α1＋2α2)+k2(2α1＋α2)＝0， 整理为(k1＋2k2)α1＋(2k1＋k2)α2＝0． 由于α1，α2线性无关，得到[*]，推出k1＝k2＝0, 因此β1，β2线性无关。 由于α1，α2是Ax＝0的基础解系，故该方程组的任意两个线性无关的解都是它的基础解系．从而β1，β2也是Ax＝0的基础解系．
解析
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线性代数（经管类）

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