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若3维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为________。
若3维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为________。
admin
2019-05-12
66
问题
若3维列向量α，β满足α
T
β=2，其中α
T
为α的转置，则矩阵βα
T
的非零特征值为________。
选项
答案
2．
解析
由于α
T
β=2，故β≠0，且有
(βα
T
)β=β(α
T
β)=2β，
于是由特征值与特征向量的定义，知2为方阵βα
T
的一个特征值且β为对应的一个特征向量．下面还可证明方阵βα
T
只有一个非零特征值．首先可证方阵βα
T
的秩为1；由βα
T
≠O知r(βα
T
)≥1，又由r(βα
T
)≤r(β)=1，知r(βα
T
)=1，故0为βα
T
的特征值．其次可证0为βα
T
的2重特征值：由于齐次线性方程组(0一βα
T
)x=0的基础解系所含向量的个数——即方阵βα
T
的属于特征值0的线性无关特征向量的个数=3一r(βα
T
)=3—1=2，所以0至少是βα
T
的2重特征值，但不会是3重特征值(否则βα
T
=0)．既然3阶方阵βα
T
有2重特征值0，因此其非零特征值就只能有一个．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Qf04777K
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考研数学一
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