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若3维列向量α,β满足αTβ=2,其中αT为α的转置,则矩阵βαT的非零特征值为________。
若3维列向量α,β满足αTβ=2,其中αT为α的转置,则矩阵βαT的非零特征值为________。
admin
2019-05-12
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问题
若3维列向量α,β满足α
T
β=2,其中α
T
为α的转置,则矩阵βα
T
的非零特征值为________。
选项
答案
2.
解析
由于α
T
β=2,故β≠0,且有
(βα
T
)β=β(α
T
β)=2β,
于是由特征值与特征向量的定义,知2为方阵βα
T
的一个特征值且β为对应的一个特征向量.下面还可证明方阵βα
T
只有一个非零特征值.首先可证方阵βα
T
的秩为1;由βα
T
≠O知r(βα
T
)≥1,又由r(βα
T
)≤r(β)=1,知r(βα
T
)=1,故0为βα
T
的特征值.其次可证0为βα
T
的2重特征值:由于齐次线性方程组(0一βα
T
)x=0的基础解系所含向量的个数——即方阵βα
T
的属于特征值0的线性无关特征向量的个数=3一r(βα
T
)=3—1=2,所以0至少是βα
T
的2重特征值,但不会是3重特征值(否则βα
T
=0).既然3阶方阵βα
T
有2重特征值0,因此其非零特征值就只能有一个.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Qf04777K
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考研数学一
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