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  3. 设f(χ)为连续函数，解方程f(χ)＝2(eχ－1)＋∫0χ(χ－t)f(y)dt．

设f(χ)为连续函数，解方程f(χ)＝2(eχ－1)＋∫0χ(χ－t)f(y)dt．

admin2018-06-12  57
问题 设f(χ)为连续函数，解方程f(χ)＝2(eχ－1)＋∫0χ(χ－t)f(y)dt．
选项
答案先将原方程改写成 f(χ)＝2(eχ－1)＋χ∫0χf(t)dt－∫0χtf(t)dt 然后两边求导得f′(χ)＝2eχ＋∫0χf(t)dt． (*) 在原方程中令χ＝0得f(0)＝0；又在上式中令χ＝0得f′(0)＝2． 再将(*)式求导得f〞(χ)＝2eχ＋f(χ)． 于是，问题转化为求解二阶线性常系数方程的初值问题，即 [*] 其中，y＝f(χ)．特征方程为λ2－1＝0，特征根λ＝±1，非齐次项aeαχ，α＝2，α＝1为单特征根，故有特解y*＝Aχeχ，代入方程得A(χ＋2)eχ－Aχeχ－2eχ．比较上式两端系数得A＝1，于是y*＝χeχ．因此，通解为 y＝C1eχ＋C2e－χ＋χeχ． 由初值y(0)＝0，y′(0)＝2得C1＝[*]，C2＝－[*]．最后求得 y＝f(χ)＝[*]＋χeχ．
解析
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考研数学一

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