设f(χ)为连续函数,解方程f(χ)=2(eχ-1)+∫0χ(χ-t)f(y)dt.

admin2018-06-12  35

问题 设f(χ)为连续函数,解方程f(χ)=2(eχ-1)+∫0χ(χ-t)f(y)dt.

选项

答案先将原方程改写成 f(χ)=2(eχ-1)+χ∫0χf(t)dt-∫0χtf(t)dt 然后两边求导得f′(χ)=2eχ+∫0χf(t)dt. (*) 在原方程中令χ=0得f(0)=0;又在上式中令χ=0得f′(0)=2. 再将(*)式求导得f〞(χ)=2eχ+f(χ). 于是,问题转化为求解二阶线性常系数方程的初值问题,即 [*] 其中,y=f(χ).特征方程为λ2-1=0,特征根λ=±1,非齐次项aeαχ,α=2,α=1为单特征根,故有特解y*=Aχeχ,代入方程得A(χ+2)eχ-Aχeχ-2eχ.比较上式两端系数得A=1,于是y*=χeχ.因此,通解为 y=C1eχ+C2e-χ+χeχ. 由初值y(0)=0,y′(0)=2得C1=[*],C2=-[*].最后求得 y=f(χ)=[*]+χeχ

解析
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