设函数f(x)在[a,b](a>0)上连续,在(a,b)内可微,且f’(x)≠0.证明存在ξ,η,ζ∈(a,b),使得

admin2016-12-16  39

问题 设函数f(x)在[a,b](a>0)上连续,在(a,b)内可微,且f’(x)≠0.证明存在ξ,η,ζ∈(a,b),使得

选项

答案令g(x)=lnx,则g(x)与f(x)在[a,b]上满足柯西中值定理的条件,故存在ξ∈(a,b),使得 [*] 分别对g(x),f (x)在[a,b]上使用拉格朗日中值定理,则分别存在η,ξ∈(a,b)使得将式②与式③代入式①得 [*]

解析 由ηf’(ξ)=ξf’(ξ)=应想到先对f(x)与g(x)=lnx使用柯西中值定理,产生一个中值ξ,然后对这两个函数的差lnb一lna与f(b)一f(a)凑成可使用拉格朗日中值定理的形式,再分别使用该定理又可得到两个η与ξ.
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