设二次型χ12＋χ22＋χ32－4χ1χ2－4χ1χ3＋2aχ2χ3经正交变换化为3y12＋3y22＋by32，求a，b的值及所用正交变换．

admin2017-08-28 45

问题设二次型χ₁²＋χ₂²＋χ₃²－4χ₁χ₂－4χ₁χ₃＋2aχ₂χ₃经正交变换化为3y₁²＋3y₂²＋by₃²，求a，b的值及所用正交变换．

选项

答案二次型及其标准形的矩阵分别是 [*] 由于是用正交变换化为标准形，故A与B不仅合同而且相似．那么有1＋1＋1＝3＋3＋b得b＝－3．对λ＝3，则有｜3E－A｜＝[*]＝－2(a＋2)²＝0，因此a＝－2(二重根) 由(3E－A)χ＝0，得特征向量α₁＝(1，－1，0)^T，α₂＝(1，0，－1)^T．对λ＝－3，由(－3E－A)χ＝0，得特征向量α₁＝(1，1，1)^T．因为λ＝3是二重特征值，对α^T，α²正交化有 β₁＝α₁＝(1，－1，0)^T， β₂＝α₂－[*] 单位化，有 [*] 经正交交换χ＝Cy，二次型化为3y₁²＋3y₂²－3y₃²

解析

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考研数学一

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设二次型χ12＋χ22＋χ32－4χ1χ2－4χ1χ3＋2aχ2χ3经正交变换化为3y12＋3y22＋by32，求a，b的值及所用正交变换．

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