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  3. 设二次型χ12＋χ22＋χ32－4χ1χ2－4χ1χ3＋2aχ2χ3经正交变换化为3y12＋3y22＋by32，求a，b的值及所用正交变换．

设二次型χ12＋χ22＋χ32－4χ1χ2－4χ1χ3＋2aχ2χ3经正交变换化为3y12＋3y22＋by32，求a，b的值及所用正交变换．

admin2017-08-28  69
问题 设二次型χ12＋χ22＋χ32－4χ1χ2－4χ1χ3＋2aχ2χ3经正交变换化为3y12＋3y22＋by32，求a，b的值及所用正交变换．
选项
答案二次型及其标准形的矩阵分别是 [*] 由于是用正交变换化为标准形，故A与B不仅合同而且相似．那么有1＋1＋1＝3＋3＋b得b＝－3． 对λ＝3，则有 ｜3E－A｜＝[*]＝ －2(a＋2)2＝0，因此a＝－2(二重根) 由(3E－A)χ＝0，得特征向量α1＝(1，－1，0)T，α2＝(1，0，－1)T． 对λ＝－3，由(－3E－A)χ＝0，得特征向量α1＝(1，1，1)T． 因为λ＝3是二重特征值，对αT，α2正交化有 β1＝α1＝(1，－1，0)T， β2＝α2－[*] 单位化，有 [*] 经正交交换χ＝Cy，二次型化为3y12＋3y22－3y32
解析
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考研数学一

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