设二次型χ12+χ22+χ32-4χ1χ2-4χ1χ3+2aχ2χ3经正交变换化为3y12+3y22+by32,求a,b的值及所用正交变换.

admin2017-08-28  34

问题 设二次型χ12+χ22+χ32-4χ1χ2-4χ1χ3+2aχ2χ3经正交变换化为3y12+3y22+by32,求a,b的值及所用正交变换.

选项

答案二次型及其标准形的矩阵分别是 [*] 由于是用正交变换化为标准形,故A与B不仅合同而且相似.那么有1+1+1=3+3+b得b=-3. 对λ=3,则有 |3E-A|=[*]= -2(a+2)2=0,因此a=-2(二重根) 由(3E-A)χ=0,得特征向量α1=(1,-1,0)T,α2=(1,0,-1)T. 对λ=-3,由(-3E-A)χ=0,得特征向量α1=(1,1,1)T. 因为λ=3是二重特征值,对αT,α2正交化有 β1=α1=(1,-1,0)T, β2=α2-[*] 单位化,有 [*] 经正交交换χ=Cy,二次型化为3y12+3y22-3y32

解析
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