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[2014年] 设α1,α2,α3是3维向量,则对任意常数k,l,向量α1+kα3,α2+lα3线性无关是向量组α1,α2,α3线性无关的( ).
[2014年] 设α1,α2,α3是3维向量,则对任意常数k,l,向量α1+kα3,α2+lα3线性无关是向量组α1,α2,α3线性无关的( ).
admin
2021-01-19
86
问题
[2014年] 设α
1
,α
2
,α
3
是3维向量,则对任意常数k,l,向量α
1
+kα
3
,α
2
+lα
3
线性无关是向量组α
1
,α
2
,α
3
线性无关的( ).
选项
A、必要非充分条件
B、充分非必要条件
C、充分必要条件
D、既非充分也非必要条件
答案
A
解析
可用秩证明选项(A)成立.
记β
1
=α
1
+kα
3
,β
2
=α
2
+lα
3
,则[β
1
,β
2
]=[α
1
,α
2
,α
3
]
.若α
1
,α
2
,α
3
线性无关,则[α
1
,α
2
,α
3
]为可逆矩阵,故秩(β
1
,β
2
)=秩[[α
1
,α
2
,α
3
]
]=秩(
)=2,即β
1
=α
1
+kα
3
,β
2
=α
2
+lα
3
线性无关.
反之,设α
1
,α
2
线性无关,α
3
=O,则对任意常数k,l必有α
1
+kα
3
,α
2
+lα
3
线性无关,但α
1
,α
2
,α
3
线性相关,故α
1
+kα
3
,α
2
+lα
3
线性无关是向量组α
1
,α
2
,α
3
线性无关的必要但非充分条件.仅(A)入选.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Qv84777K
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考研数学二
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