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设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点。 求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。
设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点。 求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。
admin
2019-07-22
98
问题
设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点
。
求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。
选项
答案
由上题知曲线的方程为[*] 则y’一2x,点P(x,y)=[*],所以在点P处的切线方程为 Y一([*]一x
2
)=一2x(X一x), 分别令X=0,Y=0,解得在y轴,x轴上的截距分别为[*] 此切线与两坐标轴围成的三角形面积为 [*] 由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值,记为S
0
,于是题中所求的面积为 S(x)=A(x)一S
0
=[*](4x
2
+1)
2
—S
0
, 求最值点时与S
0
无关,而 [*] 令S’(x)=0,得[*]。当[*]时,S’(x)<0;当[*]时,S’(x)>0。 根据极值存在的第一充分条件知,[*]是S(x)在x>0时的唯一极小值点,即最小值点,于是所求切线方程为 [*]
解析
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0
考研数学二
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