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设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,且满足 λ∈(0,1)为常数. 求证:在(0,1)内至少存在一点ξ,使f′(ξ)=一f(ξ)/ξ.
设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,且满足 λ∈(0,1)为常数. 求证:在(0,1)内至少存在一点ξ,使f′(ξ)=一f(ξ)/ξ.
admin
2015-12-22
63
问题
设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,且满足
λ∈(0,1)为常数.
求证:在(0,1)内至少存在一点ξ,使f′(ξ)=一f(ξ)/ξ.
选项
答案
利用积分中值定理,存在ξ
1
∈(0,λ),使f(1)=ξ
1
f(ξ
1
). 如果令 F(x)=xf(x), 则 F(1)=f(1)=ξ
1
f(ξ
1
)=F(ξ
1
), 即F(x)在x=1,x=ξ
1
两点处函数值相等,故可对F(x)在(ξ
1
,1)内使用罗尔定理. 证 令F(x)=xf(x),显然F(x)在[0,1]上可微. 应用积分中值定理得 [*] 又 F(ξ
1
)=ξ
1
f(ξ
1
), 则 F(ξ
1
)=F(1). 于是对F(x)在[ξ
1
,1]上应用罗尔定理知,至少存在[*],使得 F′(ξ)=ξf′(ξ)+f(ξ)=0, 即 [*]
解析
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考研数学二
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