2. 考研
  3. 设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，且满足 λ∈(0，1)为常数． 求证：在(0，1)内至少存在一点ξ，使f′(ξ)=一f(ξ)／ξ．

设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，且满足 λ∈(0，1)为常数． 求证：在(0，1)内至少存在一点ξ，使f′(ξ)=一f(ξ)／ξ．

admin2015-12-22  60
问题 设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，且满足
   
    λ∈(0，1)为常数．
    求证：在(0，1)内至少存在一点ξ，使f′(ξ)=一f(ξ)／ξ．
选项
答案利用积分中值定理，存在ξ1∈(0，λ)，使f(1)=ξ1f(ξ1)． 如果令 F(x)=xf(x)， 则 F(1)=f(1)=ξ1f(ξ1)=F(ξ1)， 即F(x)在x=1，x=ξ1两点处函数值相等，故可对F(x)在(ξ1，1)内使用罗尔定理． 证 令F(x)=xf(x)，显然F(x)在[0，1]上可微． 应用积分中值定理得 [*] 又 F(ξ1)=ξ1f(ξ1)， 则 F(ξ1)=F(1)． 于是对F(x)在[ξ1，1]上应用罗尔定理知，至少存在[*]，使得 F′(ξ)=ξf′(ξ)+f(ξ)=0， 即 [*]
解析
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考研数学二

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