2. 考研
  3. 设向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，且 β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1， 讨论向量组β1，β2，βs的线性相关性．

设向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，且 β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1， 讨论向量组β1，β2，βs的线性相关性．

admin2021-11-09  51
问题 设向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，且
                 β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1，
讨论向量组β1，β2，βs的线性相关性．
选项
答案方法一 设x1β1+x2β2+…+xnβn=0，即 (x1+xs)α1+(x1+x2)α2+…+(xs-1+xs)αs=0． 因为α1，α2，…，αs线性无关，则[*]其系数行列式 [*] 当s为奇数时，|A|=2≠0，方程组只有零解，则向量组β1，β2，…，βs线性无关； 当s为偶数时，|A|=0，方程组有非零解，则向量组β1，β2，…，βs线性相关． 方法二显然 [*] 因为α1，α2，…，αs线性无关，则 r(β1，β2，…，βs)≤min{r(α1，α2，…，αs)，r(K)}=r(K)． ①r(K)=s[*]|K|=1+(一1)αs+1≠0，即s为奇数时，r(β1，β2，…，βs)=s，则向量组β1，β2，…，βs线性无关； ②r(K)s+1=0，即s为偶数时，r(β1，β2，…，βs)1，β2，…，βs线性相关．
解析
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考研数学二

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