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设A是m×n阶矩阵,试证明: (Ⅰ)如果A行满秩(r(A)=m),则对任何m×s矩阵C,矩阵方程AX=C都有解。 (Ⅱ)如果A列满秩(r(A)=n),则存在n×m矩阵B,使得BA=E(E是n阶单位矩阵)。
设A是m×n阶矩阵,试证明: (Ⅰ)如果A行满秩(r(A)=m),则对任何m×s矩阵C,矩阵方程AX=C都有解。 (Ⅱ)如果A列满秩(r(A)=n),则存在n×m矩阵B,使得BA=E(E是n阶单位矩阵)。
admin
2018-11-16
76
问题
设A是m×n阶矩阵,试证明:
(Ⅰ)如果A行满秩(r(A)=m),则对任何m×s矩阵C,矩阵方程AX=C都有解。
(Ⅱ)如果A列满秩(r(A)=n),则存在n×m矩阵B,使得BA=E(E是n阶单位矩阵)。
选项
答案
(Ⅰ)因为r(A)=m,对任何β,m=r(A)≤r(A,β)≤m,((A,β)是m×(n+1)矩阵)因此总有r(A)=r(A,β),于是方程组AX=β总有解。设C=(β
1
,β
2
,…,β
s
),对每个i=1,2,…,s,取η
1
是方程组AX=β
1
的一个解,则矩阵D=(η
1
,η
2
,…,η
s
),则AD=C。 (Ⅱ)如果A列满秩,则A
T
行满秩,根据(Ⅰ)的结果,存在m×n矩阵H,使得A
T
H=E,记B=H
T
,则BA=H
T
A=(A
T
H)
T
=E。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/R8W4777K
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考研数学三
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