设A是m×n阶矩阵,试证明: (Ⅰ)如果A行满秩(r(A)=m),则对任何m×s矩阵C,矩阵方程AX=C都有解。 (Ⅱ)如果A列满秩(r(A)=n),则存在n×m矩阵B,使得BA=E(E是n阶单位矩阵)。

admin2018-11-16  32

问题 设A是m×n阶矩阵,试证明:
(Ⅰ)如果A行满秩(r(A)=m),则对任何m×s矩阵C,矩阵方程AX=C都有解。
(Ⅱ)如果A列满秩(r(A)=n),则存在n×m矩阵B,使得BA=E(E是n阶单位矩阵)。

选项

答案(Ⅰ)因为r(A)=m,对任何β,m=r(A)≤r(A,β)≤m,((A,β)是m×(n+1)矩阵)因此总有r(A)=r(A,β),于是方程组AX=β总有解。设C=(β1,β2,…,βs),对每个i=1,2,…,s,取η1是方程组AX=β1的一个解,则矩阵D=(η1,η2,…,ηs),则AD=C。 (Ⅱ)如果A列满秩,则AT行满秩,根据(Ⅰ)的结果,存在m×n矩阵H,使得ATH=E,记B=HT,则BA=HTA=(ATH)T=E。

解析
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