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若矩阵A=相似于对角矩阵A,试确定常数n的值,并求可逆矩阵P使P-1AP=A.
若矩阵A=相似于对角矩阵A,试确定常数n的值,并求可逆矩阵P使P-1AP=A.
admin
2014-07-22
91
问题
若矩阵A=
相似于对角矩阵A,试确定常数n的值,并求可逆矩阵P使P
-1
AP=A.
选项
答案
由题设,先求矩阵A的特征值,设E为三阶单位矩阵, 则由0=|A-λE|=[*]=(6-λ)[(2-λ)
2
-16], 可得λ
1
=6,λ
2
=6,λ
3
=-2,欲使A相似于对角阵A,应使λ
1
=λ
2
=6对应两个线性 无关的特征向量,因此A-6E的秩为1,于足A-6E=[*] 可得出a=0,从而A=[*],下面求特征向量. 当λ
1
=λ
2
=6时,由(A-6E)x=0可得出两个线性无关的特征向量为 ξ
1
=(0,0,1)
T
,ξ
2
=(1,2,0)
T
. 当λ
3
=-2时,由(A+2E)x=0可得λ
3
=(1,-2,0)
T
, 于是P=[*],且P
-1
存在,并有P
-1
AP=A, 其中[*]
解析
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考研数学二
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