设有3组二次型: 第①组,f(x1,x2,x3)=x12+4x1x2+x22+x32,g(y1,y2,y3)=y12+y22+2y2y3+y32; 第②组,f(x1,x2,x3)=λ1x12+λ2x22+λ3x32,g(y1,y2,y3)=

admin2021-04-16  51

问题 设有3组二次型:
    第①组,f(x1,x2,x3)=x12+4x1x2+x22+x32,g(y1,y2,y3)=y12+y22+2y2y3+y32
    第②组,f(x1,x2,x3)=λ1x122x223x32,g(y1,y2,y3)=λ3y123y223y32
    第③组,f(x1,x2,x3)x12+x22+x32,g(y1,y2,y3)=y22+2y2y3
    则二次型矩阵彼此合同的是第________组。

选项

答案

解析 第①组,用配方法,f(x1,x2,x3)xTAx=x12+4x1x2+x22+x32
=(x1+2x2)2-3x22+x33,故A的秩为3,正惯性指数为2。
g(y1,y2,y3)=yTBy=y12+y22+2y2y3+y32
=y12+(y2+y3)2,故B的秩为2,正惯性指数为2。
因A与B的负惯性指数不同,所以A与B不合同。
第②组,f(x1,x2,x3)=xTAx与g(y1,y2,y3)=yTBy的矩阵分别为对角矩阵

故A,B有完全相同的特征值,其正、负惯性指数亦分别相同,所以A与B合同。
第③组,f(x1,x2,x1)=xTAx的矩阵为

所以A的正惯性指数为3,又
g(y1,y2,y3)=yTBy=y22+2y1y3,令
得此二次型的标准形为g=z22+2z12-2z32,故B的正惯性指数为2,因A的正惯性指数≠B的正惯性指数,所以A与B不合同,综上所述,第②组二次型矩阵合同。
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