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设有3组二次型: 第①组,f(x1,x2,x3)=x12+4x1x2+x22+x32,g(y1,y2,y3)=y12+y22+2y2y3+y32; 第②组,f(x1,x2,x3)=λ1x12+λ2x22+λ3x32,g(y1,y2,y3)=
设有3组二次型: 第①组,f(x1,x2,x3)=x12+4x1x2+x22+x32,g(y1,y2,y3)=y12+y22+2y2y3+y32; 第②组,f(x1,x2,x3)=λ1x12+λ2x22+λ3x32,g(y1,y2,y3)=
admin
2021-04-16
70
问题
设有3组二次型:
第①组,f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+4x
1
x
2
+x
2
2
+x
3
2
,g(y
1
,y
2
,y
3
)=y
1
2
+y
2
2
+2y
2
y
3
+y
3
2
;
第②组,f(x
1
,x
2
,x
3
)=λ
1
x
1
2
+λ
2
x
2
2
+λ
3
x
3
2
,g(y
1
,y
2
,y
3
)=λ
3
y
1
2
+λ
3
y
2
2
+λ
3
y
3
2
;
第③组,f(x
1
,x
2
,x
3
)x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
,g(y
1
,y
2
,y
3
)=y
2
2
+2y
2
y
3
。
则二次型矩阵彼此合同的是第________组。
选项
答案
②
解析
第①组,用配方法,f(x
1
,x
2
,x
3
)x
T
Ax=x
1
2
+4x
1
x
2
+x
2
2
+x
3
2
=(x
1
+2x
2
)
2
-3x
2
2
+x
3
3
,故A的秩为3,正惯性指数为2。
g(y
1
,y
2
,y
3
)=y
T
By=y
1
2
+y
2
2
+2y
2
y
3
+y
3
2
;
=y
1
2
+(y
2
+y
3
)
2
,故B的秩为2,正惯性指数为2。
因A与B的负惯性指数不同,所以A与B不合同。
第②组,f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax与g(y
1
,y
2
,y
3
)=y
T
By的矩阵分别为对角矩阵
故A,B有完全相同的特征值,其正、负惯性指数亦分别相同,所以A与B合同。
第③组,f(x
1
,x
2
,x
1
)=x
T
Ax的矩阵为
所以A的正惯性指数为3,又
g(y
1
,y
2
,y
3
)=y
T
By=y
2
2
+2y
1
y
3
,令
得此二次型的标准形为g=z
2
2
+2z
1
2
-2z
3
2
,故B的正惯性指数为2,因A的正惯性指数≠B的正惯性指数,所以A与B不合同,综上所述,第②组二次型矩阵合同。
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考研数学三
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