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设有3组二次型： 第①组，f(x1，x2，x3)=x12+4x1x2+x22+x32，g(y1，y2，y3)=y12+y22+2y2y3+y32； 第②组，f(x1，x2，x3)=λ1x12+λ2x22+λ3x32，g(y1，y2，y3)=
设有3组二次型： 第①组，f(x1，x2，x3)=x12+4x1x2+x22+x32，g(y1，y2，y3)=y12+y22+2y2y3+y32； 第②组，f(x1，x2，x3)=λ1x12+λ2x22+λ3x32，g(y1，y2，y3)=
admin
2021-04-16
59
问题
设有3组二次型：
第①组，f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+4x
1
x
2
+x
2
2
+x
3
2
，g(y
1
，y
2
，y
3
)=y
1
2
+y
2
2
+2y
2
y
3
+y
3
2
；
第②组，f(x
1
，x
2
，x
3
)=λ
1
x
1
2
+λ
2
x
2
2
+λ
3
x
3
2
，g(y
1
，y
2
，y
3
)=λ
3
y
1
2
+λ
3
y
2
2
+λ
3
y
3
2
；
第③组，f(x
1
，x
2
，x
3
)x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
，g(y
1
，y
2
，y
3
)=y
2
2
+2y
2
y
3
。
则二次型矩阵彼此合同的是第________组。
选项
答案
②
解析
第①组，用配方法，f(x
1
，x
2
，x
3
)x
T
Ax=x
1
2
+4x
1
x
2
+x
2
2
+x
3
2
=(x
1
+2x
2
)
2
-3x
2
2
+x
3
3
，故A的秩为3，正惯性指数为2。
g(y
1
，y
2
，y
3
)=y
T
By=y
1
2
+y
2
2
+2y
2
y
3
+y
3
2
；
=y
1
2
+(y
2
+y
3
)
2
，故B的秩为2，正惯性指数为2。
因A与B的负惯性指数不同，所以A与B不合同。
第②组，f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax与g(y
1
，y
2
，y
3
)=y
T
By的矩阵分别为对角矩阵
故A，B有完全相同的特征值，其正、负惯性指数亦分别相同，所以A与B合同。
第③组，f(x
1
，x
2
，x
1
)=x
T
Ax的矩阵为
所以A的正惯性指数为3，又
g(y
1
，y
2
，y
3
)=y
T
By=y
2
2
+2y
1
y
3
，令
得此二次型的标准形为g=z
2
2
+2z
1
2
-2z
3
2
，故B的正惯性指数为2，因A的正惯性指数≠B的正惯性指数，所以A与B不合同，综上所述，第②组二次型矩阵合同。
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考研数学三
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