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设A是三阶矩阵,α1,α2,α3为三维列向量且α1≠0,若Aα1=α1,Aα2=α1+α2,Aα3=α2+α3。 (Ⅰ)证明:向量组α1,α2,α3线性无关; (Ⅱ)证明:A不可相似对角化。
设A是三阶矩阵,α1,α2,α3为三维列向量且α1≠0,若Aα1=α1,Aα2=α1+α2,Aα3=α2+α3。 (Ⅰ)证明:向量组α1,α2,α3线性无关; (Ⅱ)证明:A不可相似对角化。
admin
2021-01-31
73
问题
设A是三阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
为三维列向量且α
1
≠0,若Aα
1
=α
1
,Aα
2
=α
1
+α
2
,Aα
3
=α
2
+α
3
。
(Ⅰ)证明:向量组α
1
,α
2
,α
3
线性无关;
(Ⅱ)证明:A不可相似对角化。
选项
答案
(Ⅰ)由Aα
1
=α
1
,得(A-E)α
1
=0, 由Aα
2
=α
1
十α
3
得(A-E)α
2
=α
1
, 由Aα
3
=α
2
+α
3
,得(A-E)α
3
=α
2
, 令k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0,(1) 两边再左乘(A-E)得k
3
α
3
=0,(2) 由α
1
≠0得k
3
=0,代入(2)k
2
α
1
=0,则k
2
=0, 再代入(1)得k
1
α
1
=0,从而k
1
=0,于是α
1
,α
2
,α
3
线性无关。 由(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
)=(α
1
α
1
+α
2
α
2
+α
3
)得AP=[*], 从而P
-1
AP=[*]=B。 由|λE-A|-|λE-B|=(λ-1)
3
=0得A的特征值为λ
1
=λ
2
=λ
3
=1, E-B=[*],因为r(E-B)=-2,所以B只有一个线性无关的特征向量,即B不可相似对角化,而A~B,故A不可相似对角化。
解析
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考研数学三
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