设A是三阶矩阵,α1,α2,α3为三维列向量且α1≠0,若Aα1=α1,Aα2=α1+α2,Aα3=α2+α3。 (Ⅰ)证明:向量组α1,α2,α3线性无关; (Ⅱ)证明:A不可相似对角化。

admin2021-01-31  54

问题 设A是三阶矩阵,α1,α2,α3为三维列向量且α1≠0,若Aα11,Aα212,Aα323
    (Ⅰ)证明:向量组α1,α2,α3线性无关;
    (Ⅱ)证明:A不可相似对角化。

选项

答案(Ⅰ)由Aα11,得(A-E)α1=0, 由Aα21十α3得(A-E)α21, 由Aα323,得(A-E)α32, 令k1α1+k2α2+k3α3=0,(1) 两边再左乘(A-E)得k3α3=0,(2) 由α1≠0得k3=0,代入(2)k2α1=0,则k2=0, 再代入(1)得k1α1=0,从而k1=0,于是α1,α2,α3线性无关。 由(Aα1,Aα2,Aα3)=(α1α12α23)得AP=[*], 从而P-1AP=[*]=B。 由|λE-A|-|λE-B|=(λ-1)3=0得A的特征值为λ123=1, E-B=[*],因为r(E-B)=-2,所以B只有一个线性无关的特征向量,即B不可相似对角化,而A~B,故A不可相似对角化。

解析
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