2. 考研
  3. 设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量且α1≠0，若Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3。 (Ⅰ)证明：向量组α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)证明：A不可相似对角化。

设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量且α1≠0，若Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3。 (Ⅰ)证明：向量组α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)证明：A不可相似对角化。

admin2021-01-31  76
问题 设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量且α1≠0，若Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3。
    (Ⅰ)证明：向量组α1，α2，α3线性无关；
    (Ⅱ)证明：A不可相似对角化。
选项
答案(Ⅰ)由Aα1=α1，得(A-E)α1=0， 由Aα2=α1十α3得(A-E)α2=α1， 由Aα3=α2+α3，得(A-E)α3=α2， 令k1α1+k2α2+k3α3=0，(1) 两边再左乘(A-E)得k3α3=0，(2) 由α1≠0得k3=0，代入(2)k2α1=0，则k2=0， 再代入(1)得k1α1=0，从而k1=0，于是α1，α2，α3线性无关。 由(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1α1+α2α2+α3)得AP=[*]， 从而P-1AP=[*]=B。 由｜λE-A｜-｜λE-B｜=(λ-1)3=0得A的特征值为λ1=λ2=λ3=1， E-B=[*]，因为r(E-B)=-2，所以B只有一个线性无关的特征向量，即B不可相似对角化，而A～B，故A不可相似对角化。
解析
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考研数学三

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