2. 考研
  3. 设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当x∈(0，+∞)时 ｜f(x)｜≤M0， ｜f"’(x)｜≤M3， 其中M0，M3为非负常数，求证f"(x)在(0，+∞)上有界．

设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当x∈(0，+∞)时 ｜f(x)｜≤M0， ｜f"’(x)｜≤M3， 其中M0，M3为非负常数，求证f"(x)在(0，+∞)上有界．

admin2017-10-23  41
问题 设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当x∈(0，+∞)时
    ｜f(x)｜≤M0，  ｜f"’(x)｜≤M3，
其中M0，M3为非负常数，求证f"(x)在(0，+∞)上有界．
选项
答案分别讨论x＞1与0＜x≤1两种情形． 1)当x＞1时考察二阶泰勒公式 [*] 2)当0＜x≤1时对f"(x)用拉格朗日中值定理，有 f"(x)=f"(x)一f"(1)+f"(1)=f"’(ξ)(x一1)+f"(1)，其中ξ∈(x，1)． 从而 ｜f"(x)｜≤f"’(ξ)｜｜x一1｜+1f"(1)｜≤M3+｜f"(1)｜ (x∈(0，1]) 综合即知f"(x)在(0，+∞)上有界．
解析
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考研数学三

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