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f(x)在[0,1]上有连续导数,且f(0)=0,证明:存在ξ∈[0,1],使得
f(x)在[0,1]上有连续导数,且f(0)=0,证明:存在ξ∈[0,1],使得
admin
2018-08-22
82
问题
f(x)在[0,1]上有连续导数,且f(0)=0,证明:存在ξ∈[0,1],使得
选项
答案
因为f(x)在[0,1]上连续,所以f’(x)在[0,1]上有最小值和最大值,设为m,M,即有x
1
,x
2
∈Eo,1],使f’(x
1
)=m,f’(x
2
)=M. 由中值定理知,对任意x∈[0,1],存在η∈(0,x),使f(x)=f(x)一f(0)=f’(η)x,于是有 f’(x
1
)x=mx≤f(x)=f(x)一f(0)=f’(η)x≤Mx=f’(x
2
)x, 积分得 [*] 因为f’(x)在[0,1]上连续,由介值定理知,必有ξ∈[x
1
,x
2
][*][0,1]或ξ∈[x
2
,x
1
][*][0,1],使[*]
解析
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考研数学二
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