2. 考研
  3. (96年)设向量α1，α2，…，αt，是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系，向量β不是方程组AX＝0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β＋α1，…，β＋αt，线性无关．

(96年)设向量α1，α2，…，αt，是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系，向量β不是方程组AX＝0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β＋α1，…，β＋αt，线性无关．

admin2021-01-25  105
问题 (96年)设向量α1，α2，…，αt，是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系，向量β不是方程组AX＝0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β＋α1，…，β＋αt，线性无关．
选项
答案设有一组数k0，k1，…，kt．使得 k0β＋k1(β＋α1)＋…＋kt(β＋αt)＝0 即(k0＋k1＋…＋kt)β＋k1α1＋…＋ktαt＝0 (*) 用矩阵A左乘(*)式两端并注意Aαi＝0(i＝1，…，t)，得 (k0＋k1＋…＋kt)Aβ＝0 因为Aβ≠0，所以有 k0＋k1＋…＋kt＝0 (**) 代入(*)式，得 k1α1＋…＋ktαt＝0 由于向量组α1，…，αt是方程组AX＝0的基础解系，所以 k1＝…＝kt＝0 因而由(**)式得k0＝0．因此，向量组声β，β＋α1，…，β＋αt线性无关．
解析
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考研数学三

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