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  3. 求数项级数的和．

求数项级数的和．

admin2016-01-25  49
问题 求数项级数的和．
选项
答案解一 [*]，故幂级数[*]的收敛半径R＝1． 当x＝1时，得调和级数[*]，显然它发散． 当x＝一1时，得级数[*]．由交错级数的莱布尼兹判别法易知该数项级数收敛，因而幂级数[*]的收敛域为[一1，1) 下求其和函数．设s(x)＝[*]，x∈［一1，1)．为消掉分母中的系数n，可采用先求导后积分的方法求之： S′(x)＝[*]x∈[－1，x)， 则 S(x)＝[*]dt＝－ln(1一x)，x∈[一1，x)， 故 [*]＝ln3－ln2． 解二 直接利用幂级数[*]的和函数的结果求之： [*]＝－ln(1－x)，x∈[－1，1)． 显然[*]代入上式中即得 [*]＝ln3－ln2． 注意 下面几个幂级数的和函数及其收敛域很常用，应记住： [*]
解析 由所给数项级数的形式，应考察幂级数，求出其收敛区域及和函数s(x)，将x＝代入S(x)中即得所求数项级数的和．
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考研数学三

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