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求数项级数的和.
求数项级数的和.
admin
2016-01-25
43
问题
求数项级数
的和.
选项
答案
解一 [*],故幂级数[*]的收敛半径R=1. 当x=1时,得调和级数[*],显然它发散. 当x=一1时,得级数[*].由交错级数的莱布尼兹判别法易知该数项级数收敛,因而幂级数[*]的收敛域为[一1,1) 下求其和函数.设s(x)=[*],x∈[一1,1).为消掉分母中的系数n,可采用先求导后积分的方法求之: S′(x)=[*]x∈[-1,x), 则 S(x)=[*]dt=-ln(1一x),x∈[一1,x), 故 [*]=ln3-ln2. 解二 直接利用幂级数[*]的和函数的结果求之: [*]=-ln(1-x),x∈[-1,1). 显然[*]代入上式中即得 [*]=ln3-ln2. 注意 下面几个幂级数的和函数及其收敛域很常用,应记住: [*]
解析
由所给数项级数的形式,应考察幂级数
,求出其收敛区域及和函数s(x),将x=
代入S(x)中即得所求数项级数的和.
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