2. 考研
  3. 设f(x)=(akcoskx+bksinkx)，其中ak，bk(k=1，2，…，n)为常数．证明： (Ⅰ)f(x)在[0，2π)必有两个相异的零点； (Ⅱ)f(m) (x)在[0，2π)也必有两个相异的零点

设f(x)=(akcoskx+bksinkx)，其中ak，bk(k=1，2，…，n)为常数．证明： (Ⅰ)f(x)在[0，2π)必有两个相异的零点； (Ⅱ)f(m) (x)在[0，2π)也必有两个相异的零点

admin2018-06-27  58
问题 设f(x)=(akcoskx+bksinkx)，其中ak，bk(k=1，2，…，n)为常数．证明：
(Ⅰ)f(x)在[0，2π)必有两个相异的零点；
(Ⅱ)f(m) (x)在[0，2π)也必有两个相异的零点
选项
答案(Ⅰ)令F(x)=[*]，显然，F’(x)=f(x)．由于F(x)是以2π为周期的可导函数，故F(x)在[0，2π]上连续，从而必有最大值与最小值．设F(x)分别在x1，x2达到最大值与最小值，且x1≠x2，x1，x2∈[0，2π)，则F(x1)，F(x2)也是F(x)在(-∞，+∞)上的最大值，最小值，因此x1，x2必是极值点．又F(x)可导，由费马定理知F’(x1)=f(x1)=0，F’(x2)=f(x2)=0． (Ⅱ)f(m)(x)同样为(Ⅰ)中类型的函数即可写成f(m)(x)=[*](αkcoskx+βksinkx)，其中仅αk，βk(k=1，2，…，n)为常数，利用(Ⅰ)的结论，f(m)(x)在[0，2π)必有两个相异的零点．
解析
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考研数学二

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