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设A(2,2),B(1,1),f是从点A到点B的线段下方的一条光滑定向曲线y=y(x),且它与 围成的面积为2,又φ(y)有连续导数,求曲线积分 I=∫Γ[πφ(y)cosπx-2πy]dx+[φ’(y)sinπx-2π]dy.
设A(2,2),B(1,1),f是从点A到点B的线段下方的一条光滑定向曲线y=y(x),且它与 围成的面积为2,又φ(y)有连续导数,求曲线积分 I=∫Γ[πφ(y)cosπx-2πy]dx+[φ’(y)sinπx-2π]dy.
admin
2020-03-08
31
问题
设A(2,2),B(1,1),f是从点A到点B的线段
下方的一条光滑定向曲线y=y(x),且它与
围成的面积为2,又φ(y)有连续导数,求曲线积分
I=∫
Γ
[πφ(y)cosπx-2πy]dx+[φ’(y)sinπx-2π]dy.
选项
答案
把该曲线积分分成两部分,其中一个积分的被积表达式易求原函数,另一积分可添加辅助线[*]后用格林公式 I=∫
Γ
πφ(y)cosπxdx+φ’sinπxdy-2πdy+∫
Γ
(-2πy)dx[*]I
1
+I
2
其中 I
2
=∫
Γ
φ(y)dsinπx+sinπxdφ(y)-d(2πy)=[φ(y)sinπx-2πy][*]=2π 为用格林公式求I
2
,添加辅助线[*]围成区域D,并构成D的负向边界,如图 [*] 于是[*] 又[*]的方程:y=x, x∈[1,2],则 [*] 因此I
2
=∫
Γ
(-2πy)dx=-4π-[*]=-4π+3π=-π 故 I=I
1
+I
2
=π.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ReS4777K
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考研数学一
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