已知A是m×n矩阵，其m个行向量是齐次线性方程组Cx=0的基础解系，B是m阶可逆矩阵，证明BA的行向量也是齐次方程组Cx=0的基础解系．

admin2019-07-19 49

问题已知A是m×n矩阵，其m个行向量是齐次线性方程组Cx=0的基础解系，B是m阶可逆矩阵，证明BA的行向量也是齐次方程组Cx=0的基础解系．

选项

答案因为A的行向量是Cx=0的解，即CA^T=0，那么C(BA)^T=CA^TB^T=0B^T=0．可见BA的行向量是方程组Cx=0的解．由于A的行向量是基础解系，所以A的行向量线性无关，于是m=r(A)=n一r(C)．又因B是可逆矩阵，r(BA)=r(A)=m=n—r(C)，所以BA的行向量线性无关，其向量个数正好是n—r(C)，从而是方程组Cx=0的基础解系．

解析

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