已知3阶方阵A的特征值为1，-2，3，则A的行列式｜A｜中元素a11，a22，a33的代数余子式的和A11+A22+A33=( )

admin2021-04-16 65

问题已知3阶方阵A的特征值为1，-2，3，则A的行列式｜A｜中元素a₁₁，a₂₂，a₃₃的代数余子式的和A₁₁+A₂₂+A₃₃=( )

选项 A、-4
B、4
C、-5
D、5

答案C

解析｜A｜=1×(-2)×3=-6≠0，故A可逆，且A^*=｜A｜A^-1=-6A^-1，
由题意知A^-1的特征值为1，-1／2，1／3，故A^*的特征值为
λ₁^*=(-6)×1=-6，λ₂^*=(-6)×(-1／2)=3，λ₃^*=(-6)×(1／2)=-2，故A₁₁+A₂₂+A₃₃=tr(A^*)=λ₁^*+λ₂^*+λ₃^*=(-6)+3+(-2)=-5。

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