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若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f’’(x)
若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f’’(x)
admin
2019-01-25
51
问题
若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f’’(x)<0,且f(x)在[0,1]上的最大值为M.求证:
自然数n,存在唯一的x
n
∈(0,1),使得f’(x
n
)=
.[img][/img]
选项
答案
由题设知存在x
M
∈(0,1)使得f(x
M
)=M>0. 先证[*]是f’(x)的某一中间值.因f’(x
M
)=0,由拉格朗日中值定理,存在ξ
n
∈(0,x
M
)使得 [*] 亦即 f’(x
M
)<[*]<f’(ξ
n
). 这里f’(x)在[ξ
n
,x
M
]连续,再由连续函数中间值定理=>存在x
n
∈(ξ
n
,x
M
)∈(0,1),使得 [*] 最后再证唯一性.由f’’(x)<0(x∈(0,1))=> f’(x)在(0,1)单调减少=>在区间(0,1)内f’(x)=[*]的点是唯一的,即x
n
.
解析
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考研数学一
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