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  3. 若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)

若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)

admin2019-01-25  58
问题 若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)<0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证：
自然数n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得f’(xn)=．[img][/img]
选项
答案由题设知存在xM∈(0，1)使得f(xM)=M>0． 先证[*]是f’(x)的某一中间值．因f’(xM)=0，由拉格朗日中值定理，存在ξn∈(0，xM)使得 [*] 亦即 f’(xM)＜[*]＜f’(ξn). 这里f’(x)在[ξn，xM]连续，再由连续函数中间值定理=>存在xn∈(ξn，xM)∈(0，1)，使得 [*] 最后再证唯一性．由f’’(x)<0(x∈(0，1))=> f’(x)在(0，1)单调减少=>在区间(0，1)内f’(x)=[*]的点是唯一的，即xn．
解析
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考研数学一

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