若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)

admin2019-01-25 54

问题若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)<0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证：

自然数n，存在唯一的x_n∈(0，1)，使得f’(x_n)=

．[img][/img]

选项

答案由题设知存在x_M∈(0，1)使得f(x_M)=M>0．先证[*]是f’(x)的某一中间值．因f’(x_M)=0，由拉格朗日中值定理，存在ξ_n∈(0，x_M)使得 [*] 亦即 f’(x_M)＜[*]＜f’(ξ_n). 这里f’(x)在[ξ_n，x_M]连续，再由连续函数中间值定理=>存在x_n∈(ξ_n，x_M)∈(0，1)，使得 [*] 最后再证唯一性．由f’’(x)<0(x∈(0，1))=> f’(x)在(0，1)单调减少=>在区间(0，1)内f’(x)=[*]的点是唯一的，即x_n．

解析

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考研数学一

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