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下述命题: ①设f(x)在任意的闭区间[a,b]上连续,则f(x)在(一∞,+∞)上连续; ②设f(x)在任意的闭区间[a,b]上有界,则f(x)在(一∞,+∞)上有界; ③设f(x)在(一∞,+∞)上为正值的连续函数,则在(一∞,+∞)上也是正值的连续函
下述命题: ①设f(x)在任意的闭区间[a,b]上连续,则f(x)在(一∞,+∞)上连续; ②设f(x)在任意的闭区间[a,b]上有界,则f(x)在(一∞,+∞)上有界; ③设f(x)在(一∞,+∞)上为正值的连续函数,则在(一∞,+∞)上也是正值的连续函
admin
2019-07-12
90
问题
下述命题:
①设f(x)在任意的闭区间[a,b]上连续,则f(x)在(一∞,+∞)上连续;
②设f(x)在任意的闭区间[a,b]上有界,则f(x)在(一∞,+∞)上有界;
③设f(x)在(一∞,+∞)上为正值的连续函数,则
在(一∞,+∞)上也是正值的连续函数;
④设f(x)在(一∞,+∞)上为正值的有界函数,则
在(一∞,+∞)上也是正值的有界函数.
其中正确的个数为 ( )
选项
A、1
B、2
C、3
D、4
答案
B
解析
①与③是正确的,②与④是不正确的,正确的个数为2.
①正确.设x
0
∈(一∞,+∞),则它必含于某区间[a,b]中.由题设f(x)在任意闭区间[a,b]上连续,故在x
0
处连续,所以在(一∞,+∞)上连续.论证的关键是:函数f(x)的连续性是按点来讨论的.在区间上每一点连续,就说它在该区间上连续.
②不正确.函数f(x)在[a,b]上有界的“界”是与区间有关的.例如f(x)=x在区间[a,b]上,|f(x)|≤max{|a|,|b|}
M,这个“界”与区间[a,b]有关.容易看出,在区间(一∞,+∞)上,f(x)=x就无界了.
③正确.设x
0
∈(一∞,+∞).f(x
0
)>0且f(x)在x
0
处连续,由连续函数的四则运算法则知,
在x
0
处也连续,所以
在(一∞,+∞)上连续.
④不正确.例如函数f(x)=
,在区间(一∞,+∞)上,0<f(x)≤1.所以在(一∞,+∞)上f(x)有界.而
在(一∞,+∞)上显然无界,这是因为
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考研数学三
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