下述命题： ①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f(x)在(一∞，+∞)上连续； ②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(一∞，+∞)上有界； ③设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的连续函数，则在(一∞，+∞)上也是正值的连续函

admin2019-07-12 78

问题下述命题：
①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f(x)在(一∞，+∞)上连续；
②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(一∞，+∞)上有界；
③设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的连续函数，则

在(一∞，+∞)上也是正值的连续函数；
④设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的有界函数，则

在(一∞，+∞)上也是正值的有界函数．
其中正确的个数为 ( )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案B

解析 ①与③是正确的，②与④是不正确的，正确的个数为2．
①正确．设x₀∈(一∞，+∞)，则它必含于某区间[a，b]中．由题设f(x)在任意闭区间[a，b]上连续，故在x₀处连续，所以在(一∞，+∞)上连续．论证的关键是：函数f(x)的连续性是按点来讨论的．在区间上每一点连续，就说它在该区间上连续．
②不正确．函数f(x)在[a，b]上有界的“界”是与区间有关的．例如f(x)=x在区间[a，b]上，|f(x)|≤max{|a|，|b|}

M，这个“界”与区间[a，b]有关．容易看出，在区间(一∞，+∞)上，f(x)=x就无界了．
③正确．设x₀∈(一∞，+∞).f(x₀)＞0且f(x)在x₀处连续，由连续函数的四则运算法则知，

在x₀处也连续，所以

在(一∞，+∞)上连续．
④不正确．例如函数f(x)=

，在区间(一∞，+∞)上，0＜f(x)≤1．所以在(一∞，+∞)上f(x)有界．而

在(一∞，+∞)上显然无界，这是因为

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考研数学三

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下述命题： ①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f(x)在(一∞，+∞)上连续； ②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(一∞，+∞)上有界； ③设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的连续函数，则在(一∞，+∞)上也是正值的连续函

考研数学三

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