2. 考研
  3. (2016年)设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜0＜x＜1，x2＜y＜}上服从均匀分布，令U= (Ⅰ)写出(X，Y)的概率密度； (Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由； (Ⅲ)求Z=U+X的分布函数F(z)。

(2016年)设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜0＜x＜1，x2＜y＜}上服从均匀分布，令U= (Ⅰ)写出(X，Y)的概率密度； (Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由； (Ⅲ)求Z=U+X的分布函数F(z)。

admin2018-04-23  115
问题 (2016年)设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜0＜x＜1，x2＜y＜}上服从均匀分布，令U=
(Ⅰ)写出(X，Y)的概率密度；
(Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由；
(Ⅲ)求Z=U+X的分布函数F(z)。
选项
答案(Ⅰ)区域D的面积S=∫01[*]，则(X，Y)的概率密度为 [*] (Ⅱ)P{U=0)=P{X＞Y}=∫01dx∫x2x3dy=[*]， P{U=1}=1-P{U=0}=[*]， P{U=0，X≤[*]}=P{X＞Y，X≤[*]} [*] 因为P{U=0，X≤[*]}≠P{U=0).P{X≤[*]}， 所以U与X不独立。 (Ⅲ)由全概率公式可得 F(z)=P{Z≤z}=P{X+U≤z} =P{X+U≤z，X≤Y}+P{X+U≤z，X＞Y} =P{X≤z-1，X≤Y}+P{X≤z，X＞Y}。 当0≤z＜1时， F(z)=P{X≤2，X＞Y}=∫0zdx∫x2x3dy=[*]z2-23； 当1≤z＜2时， F(z)=P{X≤z-1，X≤Y}+P{X≤z，X＞Y} [*] 所以 [*]
解析
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考研数学三

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