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证明:二次型f(x)=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。
证明:二次型f(x)=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。
admin
2020-03-05
28
问题
证明:二次型f(x)=x
T
Ax在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。
选项
答案
A为实对称矩阵,则存在正交矩阵Q,使得 QAQ
-1
=diag(λ
1
,λ
2
,…,λ
n
)=A, 其中λ
1
,λ
2
,…,λ
n
为A的特征值,不妨设λ
1
最大。 作正交变换y=Qx,即X=Q
-1
y=Q
T
y,则 f=x
T
Ax=y
T
QAQ
T
y=y
T
Λy=[*], 因为y=Qx,所以当||x||=1时,有 ||x||
2
=x
T
x=y
T
QQ
T
y=||y||
2
=1, [*] 又当y
1
=1,y
2
=y
3
=…=y
n
=0时,f=λ
1
,所以f
max
=λ
1
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/RuS4777K
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考研数学一
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