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  3. 证明：二次型f(x)=xTAx在｜｜x｜｜=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。

证明：二次型f(x)=xTAx在｜｜x｜｜=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。

admin2020-03-05  29
问题 证明：二次型f(x)=xTAx在｜｜x｜｜=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。
选项
答案A为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得 QAQ-1=diag(λ1，λ2，…，λn)=A， 其中λ1，λ2，…，λn为A的特征值，不妨设λ1最大。 作正交变换y=Qx，即X=Q-1y=QTy，则 f=xTAx=yTQAQTy=yTΛy=[*]， 因为y=Qx，所以当｜｜x｜｜=1时，有 ｜｜x｜｜2=xTx=yTQQTy=｜｜y｜｜2=1， [*] 又当y1=1，y2=y3=…=yn=0时，f=λ1，所以fmax=λ1。
解析
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考研数学一

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