证明：二次型f(x)=xTAx在｜｜x｜｜=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。

admin2020-03-05 27

问题证明：二次型f(x)=x^TAx在｜｜x｜｜=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。

选项

答案A为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得 QAQ^-1=diag(λ₁，λ₂，…，λ_n)=A，其中λ₁，λ₂，…，λ_n为A的特征值，不妨设λ₁最大。作正交变换y=Qx，即X=Q^-1y=Q^Ty，则 f=x^TAx=y^TQAQ^Ty=y^TΛy=[*]，因为y=Qx，所以当｜｜x｜｜=1时，有｜｜x｜｜²=x^Tx=y^TQQ^Ty=｜｜y｜｜²=1， [*] 又当y₁=1，y₂=y₃=…=y_n=0时，f=λ₁，所以f_max=λ₁。

解析

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考研数学一

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